Réponse :

1: Pour prouver la formule ch(a + b) = ..., nous pouvons utiliser les identités trigonométriques suivantes :ch(x) = (exp(x) + exp(-x)) / 2exp(x + y) = exp(x) * exp(y)Ainsi, nous avons :ch(a + b) = (exp(a + b) + exp(-(a + b))) / 2

= (exp(a) * exp(b) + exp(-a) * exp(-b)) / 2

= (exp(a) * exp(b) + 1 / (exp(a) * exp(b))) / 2

= (exp(a) * exp(b) + exp(-a) * exp(-b)) / 2 + (exp(a) * exp(-b) - exp(-a) * exp(b)) / 2

= ch(a) * ch(b) + sh(a) * sh(b)En utilisant la définition de cos(x) et la formule précédente, nous pouvons retrouver la formule pour cos(a + b) :cos(a + b) = ch(a + b) / 2 - ch(-a - b) / 2

= ch(a) * ch(b) + sh(a) * sh(b) / 2 - ch(-a) * ch(-b) - sh(-a) * sh(-b) / 2

= ch(a) * ch(b) + sh(a) * sh(b) / 2 - ch(a) * ch(b) + sh(a) * sh(b) / 2

= cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

2: Pour résoudre l'équation shx = 3, nous avons :shx = 3

x = arcsinh(3)Pour résoudre l'équation sh(2x), nous avons :sh(2x) = 2 * sh(x) * ch(x)

= 2 * (ex - e-x) / 2 * (ex + e-x) / 2

= (ex - e-x)2 / (ex + e-x)

= tanh2(x)Ainsi, sh(2x) = 9 / (cosh2(arcsinh(3))) = 9 / 10.

3:  Pour montrer que I + ch(25) = thx, nous avons :I + ch(25) = tanh(x) + cosh(25)

= (ex - e-x) / (ex + e-x) + (ex + e-x) / 2

= (ex + e-x)2 / (2 * (ex + e-x)) + (ex2 - e-x2) / (2 * (ex + e-x))

= (ex2 + 2 + e-x2 - 1) / (ex + e-x)

= (ex - e-x)2 / (ex + e-x)2

= th2(x)

Ainsi, I + ch(25) = th(arctanh(th(25))) = th(x).

4: Pour calculer les dérivées des fonctions définies par th(1 + x2), In(chx), Argch(expx), Argth(cos x), nous avons :th(1 + x2)' = 2x / cosh2(1 + x2)In(chx)' = 1 / chxArgch(expx)' = 1 / sqrt(exp2x - 1)