⇒      ⇒       ⇒         ⇒      ⇒       ⇒      ⇒        ⇒       ⇒      ⇒

1)  AA' + BB' + CC' = ( AB + BA) + (AC + CA) + (BC + CB) = 0

        ⇒      ⇒     ⇒       ⇒           ⇒        ⇒        ⇒        ⇒        ⇒

2.a)  AB + AC = (AA´ + A´B) + (AA´ + A´C)  = 2AA´ + A´B + A´C

                                              ⇒      ⇒     ⇒

Or :  A´ milieu de [BC] ⇔ A´B + A´C = 0

             ⇒     ⇒       ⇒

Donc : AB + AC = 2AA´

       ⇒      ⇒        ⇒      ⇒        ⇒       ⇒        ⇒     ⇒       ⇒

2.b) BA + BC = (BB' + A'A) + (BB' + B'C)  = B'A + B'C  + 2BB'

                                                ⇒      ⇒      ⇒

    Or :  B´ milieu de [AC] ⇔ B´A + B´C = 0

                 ⇒       ⇒       ⇒

    Donc : BA + BC = 2BB´

⇒      ⇒        ⇒      ⇒        ⇒        ⇒       ⇒         ⇒       ⇒

CA + CB = (CC' + C'A) + (CC' + C'B) = 2CC' + C'A + C'B

                                         ⇒       ⇒      ⇒

Or : C milieu de [AB] ⇔ C'A + C'B = 0  

             ⇒      ⇒       ⇒

Donc :  CA + CB = 2CC'

         ⇒       ⇒      ⇒        ⇒     ⇒       ⇒    ⇒        ⇒    ⇒     ⇒   ⇒   ⇒   ⇒

c.  2(AA' + BB' + CC') = (AB+AC) + (BA+BC) + (CA+CB) = 0 + 0 + 0 = 0