un quotient : synonymes : fraction, ratio, division
nombre décimal : Tu ne sais plus ?
recherche sur le web "nombre décimal définition"
ou dans le livre si tu te souviens à quelle page c'est.
Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s'écrire sous forme de nombre à virgule avec un nombre fini de décimales.
Par exemple : 1/4 est décimal car 1/4 = 0,25
Contre-ex : 1/3 n'est pas décimal car 1/3 = 1,3333...
Tu vois la différence ?
Dit autrement, on peut trouver un dénominateur puissance de 10 tel que
1/4 = k. 10ⁿ
Ici : 1/4= 0,25 = 25/100
1/4 =25/ 10²
1/4 = 25. 10⁻²
Bien, maintenant l'exercice :
x = 7,5/3 décimal ?
La méthode sera toujours la même
D'abord : est-ce que cela se simplifie ?
Si tu as le droit à la calculette , tu vois que x = 2,5
donc x s'écrit avec un nombre fini de décimales
donc oui, 7,5/3 est décimal
et 7,5/3 = 2,5 exactement
x = 4/3 décimal ?
Si tu as le droit à la calculette , tu vois que x = 1,3333.....
Je multiplie par 1000 , ça donne 1 333, 3333...
J'ai l'impression que ç acontinue "à l'infini".
Ceci n'est pas une preuve, on va prouver exactement la chose.
Attention : je ne sais pas si ce raisonnement est utilisé en 6ème
C'est le raisonnement par l'absurde : on fait une hypothèse, on développe, et si on arrive sur une contradiction, l'hypothèse est fausse.
Supposons que 4/3 soit un nombre décimal.
Il existe alors k entier relatif (avec un signe) et n entier positif ou nul tels que
4/3 = k/10ⁿ En vrai : comme 4/3 est positif, que 10ⁿ est positif, on sait d'ores et déjà que k DOIT être positif. c'est donc un entier naturel. Mais bon, on s'en fiche !
On va tâcher d'exprimer k, et on va voir que ... ça n'est pas possible. Si ça n'est pas possible, c'est que l'hypothèse est fausse.
OK, Multiplie par 3 des deux côtés :
4/3 = k/10ⁿ
4 = 3.k / 10ⁿ
multiplie par 10ⁿ des deux côtés
4. 10ⁿ = 3k ou 3k = 4.10ⁿ
divise par 3 des 2 côtés
k =4.10ⁿ /3
Les facteurs "en haut", au numérateur : soit 4, soit 10 ( n fois)
4 n'est pas un multiple de 3
10 non plus
Le résultat de l'opération ne peut pas être entier.
Or, k est entier
Il y a là une contradiction. L'hypothèse de départ est fausse : on ne
peut pas trouver k entier relatif tel que :
4/3 = k/10ⁿ
Conclusion :
4/3 n'est pas un nombre décimal
et sa valeur arrondie à un dixième près est
4/3 ≈ 1,3
C'est un peu long, mais assez simple, une fois qu'on a répété l'exercice une centaine de fois (je rigole).
x = 13/6 décimal ?
Même plan :
fraction réductible ?
16 c'est 4 . 4 , 13 n'est pas un multiple de 4 : non réductible
Calculette : 2,16666667
Ca a l'air d'être une suite de décimales égales à 6, sans fin (arrondi à la fin, un peu trompeur).
Démonstration exacte : par l'absurde
Supposons que x = 13/6 soit décimal
Il existe alors k entier relatif (avec un signe) et n entier positif ou nul tels que
13/6 = k/10ⁿ
Je fais la même suite de calculs que précédemment.
k = 13.10ⁿ /6
Au dénominateur : 6 = 2 . 3
Au numérateur : 13 n'a pas de diviseurs .
10 admet 2 et 3 comme diviseurs. Or, il y a aussi 2 au dénominateur. Donc
Lista de comentários
Réponse :
Explications étape par étape :
Bonne question !
un quotient : synonymes : fraction, ratio, division
nombre décimal : Tu ne sais plus ?
recherche sur le web "nombre décimal définition"
ou dans le livre si tu te souviens à quelle page c'est.
Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s'écrire sous forme de nombre à virgule avec un nombre fini de décimales.
Par exemple : 1/4 est décimal car 1/4 = 0,25
Contre-ex : 1/3 n'est pas décimal car 1/3 = 1,3333...
Tu vois la différence ?
Dit autrement, on peut trouver un dénominateur puissance de 10 tel que
1/4 = k. 10ⁿ
Ici : 1/4= 0,25 = 25/100
1/4 =25/ 10²
1/4 = 25. 10⁻²
Bien, maintenant l'exercice :
x = 7,5/3 décimal ?
La méthode sera toujours la même
D'abord : est-ce que cela se simplifie ?
Si tu as le droit à la calculette , tu vois que x = 2,5
donc x s'écrit avec un nombre fini de décimales
donc oui, 7,5/3 est décimal
et 7,5/3 = 2,5 exactement
x = 4/3 décimal ?
Si tu as le droit à la calculette , tu vois que x = 1,3333.....
Je multiplie par 1000 , ça donne 1 333, 3333...
J'ai l'impression que ç acontinue "à l'infini".
Ceci n'est pas une preuve, on va prouver exactement la chose.
Attention : je ne sais pas si ce raisonnement est utilisé en 6ème
C'est le raisonnement par l'absurde : on fait une hypothèse, on développe, et si on arrive sur une contradiction, l'hypothèse est fausse.
Supposons que 4/3 soit un nombre décimal.
Il existe alors k entier relatif (avec un signe) et n entier positif ou nul tels que
4/3 = k/10ⁿ En vrai : comme 4/3 est positif, que 10ⁿ est positif, on sait d'ores et déjà que k DOIT être positif. c'est donc un entier naturel. Mais bon, on s'en fiche !
On va tâcher d'exprimer k, et on va voir que ... ça n'est pas possible. Si ça n'est pas possible, c'est que l'hypothèse est fausse.
OK, Multiplie par 3 des deux côtés :
4/3 = k/10ⁿ
4 = 3.k / 10ⁿ
multiplie par 10ⁿ des deux côtés
4. 10ⁿ = 3k ou 3k = 4.10ⁿ
divise par 3 des 2 côtés
k =4.10ⁿ /3
Les facteurs "en haut", au numérateur : soit 4, soit 10 ( n fois)
4 n'est pas un multiple de 3
10 non plus
Le résultat de l'opération ne peut pas être entier.
Or, k est entier
Il y a là une contradiction. L'hypothèse de départ est fausse : on ne
peut pas trouver k entier relatif tel que :
4/3 = k/10ⁿ
Conclusion :
4/3 n'est pas un nombre décimal
et sa valeur arrondie à un dixième près est
4/3 ≈ 1,3
C'est un peu long, mais assez simple, une fois qu'on a répété l'exercice une centaine de fois (je rigole).
x = 13/6 décimal ?
Même plan :
16 c'est 4 . 4 , 13 n'est pas un multiple de 4 : non réductible
Ca a l'air d'être une suite de décimales égales à 6, sans fin (arrondi à la fin, un peu trompeur).
Supposons que x = 13/6 soit décimal
Il existe alors k entier relatif (avec un signe) et n entier positif ou nul tels que
13/6 = k/10ⁿ
Je fais la même suite de calculs que précédemment.
k = 13.10ⁿ /6
Au dénominateur : 6 = 2 . 3
Au numérateur : 13 n'a pas de diviseurs .
10 admet 2 et 3 comme diviseurs. Or, il y a aussi 2 au dénominateur. Donc
10ⁿ = 10 . 10ⁿ⁻¹ = 2 . 5 . 10ⁿ⁻¹
Remplaçons dans :
k = 13.10ⁿ /6
k = 13. 5 . 10ⁿ⁻¹ /3
k = 13 . 5 . 10ⁿ⁻¹ /3
13 , 5, 2 ne sont pas des multiples de 3
donc k ne peut pas être entier.
Il y a une contradiction.
x = 13/6 n'est pas un nombre décimal
et arrondi au dixième : 13/6 ≈ 2,2
x = 7/4 décimal ?
La calculette nous donne 1,75
c'est un nombre décimal : 7/4 = 175/100
et arrondi au dixième : 7/4≈ 1,8