2) On peut conjecturer que à partir de n=1 Wn est décroissante et qu'elle converge.
3) f(√5)=1/2(√5+5/√5) 5/√5=√5 donc f(√5)=1/2(√5+√5)=√5
4) W1=5,25≥√5 donc c'est vrai pour n=1 Supposons qu'au rang n on ait Wn≥√5 Alors Wn-√5≥0 ⇔(Wn-√5)²≥0 ⇔Wn²-2√5Wn+5≥0 ⇔Wn²+5≥2√5Wn ⇔(Wn²+5)/2Wn≥√5 ⇔1/2(Wn²/Wn+5/Wn=≥√5 ⇔1/2(Wn+5/Wn)≥√5 ⇔Wn+1≥√5 Donc quelque soit n≥1, Wn≥√5
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2) On peut conjecturer que à partir de n=1 Wn est décroissante et qu'elle converge.3) f(√5)=1/2(√5+5/√5)
5/√5=√5 donc f(√5)=1/2(√5+√5)=√5
4) W1=5,25≥√5 donc c'est vrai pour n=1
Supposons qu'au rang n on ait Wn≥√5
Alors Wn-√5≥0
⇔(Wn-√5)²≥0
⇔Wn²-2√5Wn+5≥0
⇔Wn²+5≥2√5Wn
⇔(Wn²+5)/2Wn≥√5
⇔1/2(Wn²/Wn+5/Wn=≥√5
⇔1/2(Wn+5/Wn)≥√5
⇔Wn+1≥√5
Donc quelque soit n≥1, Wn≥√5
5) Wn+1-Wn=Wn/2+5/2Wn-Wn=5/2Wn-Wn/2=5/2Wn-Wn²/2Wn=(5-Wn²)/2Wn
6) Comme Wn≥√5, on a Wn²≥5 et 5-Wn²≤0
Or 2Wn≥0 donc Wn+1-Wn≤0
Donc Wn est décroissante
7) Wn est décroissante et minorée donc elle converge.
8) On sait que f(√5)=√5,soit f(Wn)=Wn.
Donc La limite de Wn est √5