A resposta para esse exercício é a alternativa E, a integral imprópria é divergente.

Como determinar a integral imprópria ?

Muito além do conhecimento para realizar o cálculo de integrais impróprias é de suma importância que o aluno entenda os conceitos de divergente e convergente para resolver o exercício.

• Uma integral imprópria converge quando, depois de realizado os cálculos, a resposta converge para um número.

Em outras palavras, se a integral imprópria resultar em um número dizemos que converge, caso contrário, diverge. Assim, para resolvermos essa questão temos:

• Passo 1) Encontrar a condição de existência da função

Como o denominador não pode ser zero, temos que a condição de existência é:

C.E. ⇒ x ≠ 0

• Passo 2) Encontrar a integral da função

Utilizando a propriedade de potência:

[tex]\frac{1}{x^{a} } =x^{-a}[/tex]

E a regra de integração:

[tex]\int {x^{G} } \, dx = \frac{x^{G+1} }{G+1} + C[/tex]

temos que:

[tex]\int \frac{1}{x^{4} } \, dx = \frac{1}{-3x^{3} } + C[/tex]

• Passo 3) Calcular a integral imprópria

Note que:

• No intervalo [-2;2]  a variável x apresenta o valor 0, ferindo a condição de existência.
• Dessa forma, vamos dividir em 2 outros intervalos: [-2;b] e [b;2] onde b vai apenas tender a 0, pois x não pode assumir esse valor.

Assim:

[tex]\int\limits^2_ {-2}\frac{1}{x^{4} } \, dx = \lim_{b \to \(0^{-}} \int\limits^b_{-2}\frac{1}{x^{4} } \, dx + \lim_{b \to \(0^{+}} \int\limits^2_{b}\frac{1}{x^{4} } \, dx[/tex]

Resolvendo o primeiro termo:

[tex]\lim_{b \to \(0^{-}} \int\limits^b_{-2}\frac{1}{x^{4} } \, dx = \lim_{b \to \(0^{-}} \frac{1}{-3x^{3} }-(\frac{1}{-3(2)^{3} } ) = \infty[/tex]

Resolvendo o segundo termo:

[tex]\lim_{b \to \(0^{+}} \int\limits^2_{b}\frac{1}{x^{4} } \, dx = \lim_{b \to \(0^{+}}\frac{1}{-3(2)^{3} } -( \frac{1}{-3x^{3} }) = \infty[/tex]

logo:

[tex]\int\limits^2_ {-2}\frac{1}{x^{4} } \, dx = \infty[/tex]

Como não converge para nenhum número, dizemos que é divergente.

Saiba mais sobre integrais impróprias em:

https://brainly.com.br/tarefa/42674687