Vou te explicar em mais detalhes como encontrar as respostas para cada parte da questão:

a) Começamos substituindo x na função g(x), temos:

g(x) = √3x

Agora, substituímos essa expressão na função f(x). Então temos:

fog(x) = f(g(x)) = f(√3x) = -2(√3x) + 1 = (-2√3)x + 1

O domínio dessa função é o mesmo da função g(x), que é o conjunto dos números reais.

b) Começamos substituindo x na função f(x), temos:

f(x) = -2x + 1

Agora, substituímos essa expressão na função g(x). Então temos:

gof(x) = g(f(x)) = g(-2x+1) = √3(-2x+1) = -2√3x + √3

Ou seja, gof(x) é uma função de primeiro grau com coeficiente angular negativo e coeficiente linear positivo. Seu domínio é o conjunto dos números reais, exceto (1/2), que é o ponto em que o radicando da função g(x) se tornará negativo. Para que a função esteja definida, precisamos que o argumento do radical seja sempre não negativo. Portanto, devemos evitar a solução para √3x ≤ 0 quando resolvemos a desigualdade √3x - 1 < 0, pois a função g(x) não pode receber valores negativos. Desse modo, o domínio de gof(x) é:

Domínio de gof(x) = {x ∈ R | x < 1/2}

a) Para encontrar fog(x), precisamos substituir x na função g(x) e depois colocar esse resultado na função f(x):

fog(x) = f(g(x)) = f(√3x) = -2√3x + 1

O domínio dessa função é o mesmo de g(x), que é o conjunto dos números reais.

b) Para encontrar gof(x), precisamos fazer o oposto: substituir x na função f(x) e depois colocar esse resultado na função g(x):

gof(x) = g(f(x)) = g(-2x+1) = √3(-2x+1)

O domínio dessa função é o conjunto dos números reais, exceto (1/2), que é um ponto onde a função não está definida, já que estaríamos tentando tirar a raiz quadrada de um número negativo.