Resposta:

8√3

Explicação passo a passo:

o quadrado está inscrito na circunferência, e isso significa que os vértices do quadrado estão em cima da circunferência, e que o centro do quadrado é o mesmo da circunferência.

a diagonal do quadrado sai de um vértice, passa pelo centro e chega no outro vértice. mas isso significa que essa diagonal sai de um ponto na circunferência, passa pelo centro e chega em outro ponto. por isso, a diagonal, que vale 32, é o diâmetro da circunferência. se o diâmetro vale 32, o raio dessa circunferência é metade, 16.

a apótema de um hexágono é o segmento entre o centro e o meio de um lado. porém, sabemos que um hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. portanto, a apótema vai ser a altura de um triângulo desses. e o lado desses triângulos é o segmento entre o centro e o vértice do hexágono. portanto, precisamos desse lado.

se o hexágono ta inscrito na circunferência, significa que, o centro dele é o centro da circunferência, e que os vértices dele então na circunferência. sendo assim, o segmento entre o centro e um vértice do hexágono (o lado do triângulo, o que queremos) é o raio da circunferência. se o raio é 16, o lado do triângulo do hexágono que queremos é 16 também.

lembrando que a apótema é a altura de um dos triângulos equiláteros do hexágono, podemos calculá-la, usando a fórmula da altura do triângulo equilátero.

A = (16√3) / 2

A = 8√3

desculpa pelo livro que eu escrevi aqui; fica mais fácil se você acompanhar desenhando as figuras