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Resposta:

» O determinante da matriz 3B é igual a 45. Logo, alternativa (a)

Explicação:

Segundo o enunciado, temos: det (A × B) = 40.

Com isso, podemos deduzir duas informações importantes para a resolução: A ordem da matriz B e seu determinante.

✍️ Multiplicação de Matrizes:

• Apenas podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
• A proporção da matriz resultante desta multiplicação é igual ao número de linhas da primeira matriz e ao número de colunas da segunda matriz.

Matricialmente, temos:

⟩⟩Condição da multiplicação:

[tex]A_{_{3 \times \red{ 2}}} \times B_{_{ \red{2} \times3 }} \rightarrow C_{_{ {3} \times {3}}}[/tex]

✓ Como o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B, pode-se haver a multiplicação.

⟩⟩Proporção da matriz resultante:

[tex]A_{_{ \blue3 \times { 2}}} \times B_{_{ {2} \times \green3 }} \rightarrow C_{_{ { \blue3} \times { \green3}}}[/tex]

✓ A proporção da matriz C será determinada pelo número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B.

Aplicando isso na situação do exercício notamos que, para acontecer a multiplicação entre as matrizes A e B, o número de linhas da matriz B deve ser igual ao número de colunas da matriz A, ou seja:

[tex]A_{_{2 \times \red{ 2}}} \times B_{_{ \red{2} \times?}} [/tex]

Logo, podemos assumir que a matriz B é quadrada de ordem 2, ou seja, B(2×2).

Dado que det (A × B) = 40, utilizamos uma propriedade das matrizes, onde:

• Se duas matrizes A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(A×B) = det A × det B.

Ou seja:

[tex]det \: (\blue{A}\times \red{B}) = det \: \blue{(A)} \times det \:\red{( B)}[/tex]

Calculando o determinante da matriz A, obtemos que:

[tex]det\left[\begin{array}{ccc}3&2\\2&4\end{array}\right] = (3 \times 4) - (2 \times 2) \\ \red{\hookrightarrow}det\left[\begin{array}{ccc}3&2\\2&4\end{array}\right] =12 - 4 \\ \red{\hookrightarrow}det\left[\begin{array}{ccc}3&2\\2&4\end{array}\right] =8[/tex]

Portanto:

[tex]det \: \blue{(A)} \times det \:\red{( B)} = 40\\ \\ \rightarrow \: \blue{8} \times det \:\red{( B)} = 40 \\ \hookrightarrow \: det \:\red{( B)} = \frac{40}{ \blue8} \\ \hookrightarrow\boxed{ det \:\red{( B)} = 5}[/tex]

O determinante da matriz B é 5.

Para encontrarmos o determinante da matriz 3B, devemos observar a seguinte propriedade das matrizes:

• Se B é uma matriz quadrada de ordem n e K é um número real, então:
• det(K×B) = K^n × det B.

Logo, podemos obter o valor do determinante det 3B, dados:

[tex] \large\red{ \longrightarrow}det B=5\\ \large \red{ \longrightarrow}K=3 \\ \large \red{ \longrightarrow}n =2[/tex]

! → n é a ordem da matriz quadrada.

Substituindo, teremos:

[tex]{ \purple{K}}^{ \orange{n}}\times \green{det B} \\ \\ \rightarrow{ \purple{3}}^{ \orange{2}}\times \green{5} \\ \hookrightarrow9 \times \green{5} \\ \boxed{\boxed{ \hookrightarrow45}}[/tex]

Com isso, chegamos ao resultado:

O determinante da matriz 3B é igual a 45.

ESPERO TER AJUDADO, QUALQUER DÚVIDA É SÓ FALAR!!!