Après avoir réussi à éliminer les bactéries des organismes des souris, Thomas et Oleg se lancent dans l'exploration de la planète Mars. Lors de leur exploration de la région Noctis Labyrinthus ils découvrent une tribu de Martiens au physique impressionnant et qui semblent agressifs. De retour à leur base ils décident d'envoyer des drones destinés à espionner leur territoire. Malheureusement les Martiens ont eu connaissance de cette initiative et ont mis en place un centre de tir duquel ils pensent pouvoir détruire les drones dans leur phase de décollage. Les scientifiques de la NASA estiment que les tirs ne peuvent pas atteindre les drones quand ils sont à plus de 2 200 m.
La trajectoire de décollage des drones est une branche de parabole d'équation y = x², où x = [0; 2], l'unité étant le km.
Le centre de tir des Martiens est au point T de coordonnées ( 3 ; 0).
M, d'abscisse x, est un point de la branche de parabole.

1) Représenter la situation dans un repère orthonormé.

2) a) Montrer que pour tout x de l'intervalle [0; 2]: TM² = x + x² - 6x + 9.
b) Soit f la fonction définie sur [0; 2] par f(x) = x² + x² - 6x + 9. Justifier que f est dérivable sur [0; 2], et calculer f'(x).

3) Soit g la fonction définie sur [0; 2] par g(x) = 4x³ + 2x - 6. a) Etudier les variations de la fonction g. b) Calculer g(1), et en déduire le tableau de signes de g(x).

4) Dresser le tableau de signes de f'(x). En déduire les variations de la fonction f.

5) Thomas et Oleg devront-ils changer la trajectoire des drones durant leur décollage ?​