Au Vème siècle avant JC, le grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) dit qu'un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec une tortue. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres. Zénon explique qu'Achille ne peut jamais rattraper le lent reptile, quelle que soit sa vitesse car pendant qu'Achille court jusqu'au point d'où à démarré la tortue,c ette dernière avance, de telle sorte qu'Achille ne pourra jamais annuler l'avance de l'animal. Pour simplifier, on suppose que la vitesse d'Achille est fixe et le double de celle de la tortue.
On appelle Dn,, la distance parcourue par Achille de son point de départ jusqu'à la position occupée par la tortue lors de l'étape précédente. On a donc d1 = 100m.
1) a) Calculer la distance parcourue après le 2e étape de sa course, puis après la 3e et la 4e étape.
b) Ecrire la relation de récurrence permettant de calculer les termes de d.
2) On veut Démontrer que pour tout entier n, on a : dn = 200 -
a) Sous cette hypothèse, calculer d1 et d(n+1)
b) En déduire dn+1-dn
c) Conclure
3)a) En déduire que pour tout entier n, dn est inférieur à un entier à déterminer..
b) Expliquer alors le paradoxe donné par Zénon
On appelle Dn,, la distance parcourue par Achille de son point de départ jusqu'à la position occupée par la tortue lors de l'étape précédente. On a donc d1 = 100m.
1) a) Calculer la distance parcourue après le 2e étape de sa course, puis après la 3e et la 4e étape.
b) Ecrire la relation de récurrence permettant de calculer les termes de d.
2) On veut Démontrer que pour tout entier n, on a : dn = 200 -
a) Sous cette hypothèse, calculer d1 et d(n+1)
b) En déduire dn+1-dn
c) Conclure
3)a) En déduire que pour tout entier n, dn est inférieur à un entier à déterminer..
b) Expliquer alors le paradoxe donné par Zénon
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