Bonjour,

1) On a : x = AM.

Or, on sait que AM = QC.

D'où x = AM = QC.

Le point Q appartient au segment [BC] et BC = 6. Donc x ne peut pas être supérieur à 6 et une longueur ne peut pas être négative.

Ainsi, x ∈ [0 ; 6].

2)

Aire du rectangle ABCD :

• = AB × BC

= 8 × 6

= 48

Soit la moitié de l'aire de ce rectangle : 48/2 = 24

Aire du carré AMNP :

• = (AM)²

= x²

Aire du rectangle MBQR :

• = MB × BQ

= (AB - AM)(BC - QC)

= (8 - x)(6 - x)

= 48 - 8x - 6x + x²

= x² - 14x + 48

On cherche à résoudre l'équation :

soit :

x² + x² - 14x + 48 = 24

⇔ 2x² - 14x + 24 = 0

⇔ (2x² - 14x + 24) / 2 = 0 / 2

⇔ x² - 7x + 12 = 0

3) A l'aide de la calculatrice, on conjecture que les deux solutions de cette équation sont 3 et 4.

Vérifions cette conjecture en résolvant l'équation :

g(x) = x² - 7x + 12 = 0

Or, Δ = (-7)² - 4 × 1 × 12

Δ = 49 - 48

Δ = 1

Comme Δ = 1 > 0, l'équation admet deux solutions distinctes :

et

La conjecture est vérifiée.

4) Conclusion :

Ainsi, lorsque AM = 3 ou lorsque AM = 4, la somme des aires des quadrilatères AMNP et MBQR est égale à la moitié de l'aire du quadrilatère ABCD.

En espérant t'avoir aidé(e).

Joyeuses fêtes de fin d'année.