Bonjour,
1) On veut résoudre l’équation 4x² + 12x + 6 = 0.
a) Peut-on résoudre cette équation en factorisant le membre de gauche ?
b) Démontrer que 4x² + 12x + 6 = (2x + 3)² - 3.
c) Factoriser (2x + 3)² - 3.
d) Résoudre alors l’équation de départ et donner les valeurs exactes des
solutions.
2)Résoudre de la même manière l’équation x² + 10x = 39. Cette équation
est la traduction mathématique d’un problème d’Al-Khwarizmi (780-850) :
« Trouver un carré qui soit tel que, si on lui ajoute un rectangle de
largeur égale à son côté et de longueur 10, la surface soit égale à 39. »
1) On veut résoudre l’équation 4x² + 12x + 6 = 0.
a) Peut-on résoudre cette équation en factorisant le membre de gauche ?
b) Démontrer que 4x² + 12x + 6 = (2x + 3)² - 3.
c) Factoriser (2x + 3)² - 3.
d) Résoudre alors l’équation de départ et donner les valeurs exactes des
solutions.
2)Résoudre de la même manière l’équation x² + 10x = 39. Cette équation
est la traduction mathématique d’un problème d’Al-Khwarizmi (780-850) :
« Trouver un carré qui soit tel que, si on lui ajoute un rectangle de
largeur égale à son côté et de longueur 10, la surface soit égale à 39. »
Lista de comentários
Bonjour
a) Oui, on peut tenter de factoriser le membre de gauche.
b) Pour démontrer que 4x² + 12x + 6 = (2x + 3)² - 3, il suffit de développer le carré (2x + 3)² :
(2x + 3)² = (2x + 3)(2x + 3) = 4x² + 12x + 9
En soustrayant 3, on obtient bien :
(2x + 3)² - 3 = 4x² + 12x + 6
c) Pour factoriser (2x + 3)² - 3, on peut utiliser la formule (a - b)² = a² - 2ab + b² en posant a = 2x + 3 et b = √3 :
(2x + 3)² - 3 = (2x + 3 + √3)(2x + 3 - √3) - 3
d) En utilisant la factorisation trouvée à la question c), l'équation de départ peut s'écrire :
(2x + 3 + √3)(2x + 3 - √3) - 3 = 0
On peut alors résoudre cette équation en remarquant que les deux termes de la factorisation sont inverses l'un de l'autre :
(2x + 3 + √3)(2x + 3 - √3) - 3 = 0
(2x + 3 + √3)(2x + 3 - √3) = 3
4x² + 12x = 0
4x(x + 3) = 0
Les solutions de cette équation sont donc x = 0 et x = -3/4.
2) L'équation x² + 10x = 39 peut être mise sous la forme x² + 10x - 39 = 0. On peut alors tenter de résoudre cette équation en factorisant :
x² + 10x - 39 = 0
(x + 13)(x - 3) = 0
Les solutions de cette équation sont donc x = -13 et x = 3.
Le problème d'Al-Khwarizmi se traduit en équation par :
x² + xc = 39
où x représente le côté du carré et c sa largeur.
On peut alors écrire :
x(x+c) = 39
En utilisant la même méthode de résolution que précédemment, on trouve que x = 3 et c = 13. Ainsi, le carré cherché a un côté de longueur 3 et le rectangle ajouté a une largeur de 3 et une longueur de 13.