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EX2

1) exprimer AM², MN² et AN² en fonction de x

on utilise le théorème de Pythagore

AM² = AB²+BM² = 5² + (4 x)² = 25 + 16 x²

MN² = MC² + CN² = (5-4 x)²+ (3 x)² = 25 - 40 x + 16 x² + 9 x²

⇒MN² = 25 x² - 40 x + 25

AN² = AD²+ND² = 5² + (5 - 3 x)² = 25 + 25 - 30 x + 9 x² = 9 x² - 30 x + 50

2) a) justifier que le triangle AMN est rectangle en M à condition que

2 x(16 x - 5) = 0

Réciproque du théorème de Pythagore

AM²+MN² = 25 + 16 x² + 25 x² - 40 x + 25 = 41 x² - 40 x + 50

AN² = 9 x² - 30 x + 50

⇒ 41 x² - 40 x + 50 = 9 x² - 30 x + 50

⇔ 32 x² - 10 x = 0 ⇔ 2 x(16 x - 5) = 0  ⇒ la condition est satisfaite donc le triangle AMN est rectangle en M

b) en déduire pour quelles valeurs de x le triangle AMN est rectangle en M

2 x(16 x - 5) = 0 ⇒ 2 x = 0 ⇒ x = 0 ; 16 x = 5 ⇒ x = 5/16 = 0.3125

sachant que     0 < x < 1.25

la valeur x = 0 est exclue ⇒ il y a uniquement x = 5/16 pour que le triangle AMN est rectangle en M  car  x = 5/16 ∈ à l'intervalle  0 < x < 1.25