Bonjour;

Cours :

Soit E un espace vectoriel sur un corps K.

Une partie de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si elle contient le vecteur nul 0E et elle est stable par combinaisons linéaires.

Dans cet exercice l'espace vectoriel considéré est IR[X] .

Le vecteur nul est le polynôme nul nommé théta .

1.

théta(0) = 0 ≠ 1 , donc théta ∉ E1 ; donc E1 n'est pas un sous-espace

vectoriel de IR[X] , donc E1 n'est pas un espace vectoriel .

2.

théta est un polynôme constant , donc sa dérivée est le polynôme

nul (qui est lui même) , donc on a : théta(1) = 0 ; donc théta ∈ E2 .

Soit u et v deux éléments de E2 ; et β et ω deux scalaires ;

donc on a : (β u + ω v)' = β u' + ω v' ;

donc : (β u' + ω v')(1) = β u'(1) + ω v'(1) = β * 0 + ω * 0 = 0 ;

donc : β u + ω v ∈ E2 ; donc E2 est un sous-espace vectoriel de IR[X] ,

donc : E2 est un espace vectoriel .