1) a) Démontrer que BM = MN

Le triangle ABC est rectangle isocèle en A, donc AB = AC et les angles en B et C sont égaux à 45° 

La somme des angles est A + B + C = 180°

A = 90° , B = C  donc 2B = 180 - 90 = 90 ⇒ B = 90/2 = 45°   

tan 45° = MN/BM ⇒ MN = BM x tan45°   tan45° = 1

donc MN = BM 

b) Prouver que BM = QC

tan45° = QP/QC ⇒ QP = QC tan45° = QC x 1 = QC

QP = MN

MN = BM   donc QP = BM

donc BM = QC

2) a) Pourquoi x ∈[0 ; 4.5]

à cause de la symétrie AI est l'axe de symétrie des 2 triangles rectangles AIB et AIC donc l'étendu de x ne peut dépasser 4.5

BM = AM = x

BC - 2BM = MQ  ⇒ MQ = 9 - 2x

puisque BM = QC

c) l'aire du rectangle est : MQ * MN = (9 - 2x) * x = 9x - 2x²

3) le tableau de variation de la fonction d'après le graphique est :

x         0                         2                   4.5

f(x)   0  →croît→         4 →décroît      0