Bonjour à tous, Je n'arrive pas à faire cet exercice sur les variables aléatoires. Je vous remercie .... Pergunta de ideia deqqnlesaitfaire

December 2020 1 101 Report

Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à faire cet exercice sur les variables aléatoires. Je vous remercie tout aide.
Bonne journée et bon weekend!

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

1)a) La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=8, et p= $\frac{1}{6}$ (probabilité d'obtenir un 6, lors du lancer du dé).

On a donc:

$\displaystyle P(X=0)=\frac{8!}{0! 8!} \left(\frac{1}{6}\right)^{0} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{8}=\left(\frac{5}{6}\right)^{8}$

b) La probabilité d'obtenir au moins un 6 sur les huit lancers est $P(X \geq 1)$ .

Et on a que $P(X \geq 1)=1-P(X < 1)$ .

Or $P(X < 1)=P(X=0)$ , d'où:

$\displaystyle P(X \geq 1)=1-P(X < 1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{8} \approx 0,767$

2) Si n est le nombre de lancers, alors la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p= $\frac{1}{6}$ .

La probabilité d'obtenir au moins un 6 devienne supérieure ou égale à 95% est $P(X \geq 1) \geq 0,95$ .

Donc:

$\displaystyle 1-P(X < 1) \geq 0,95\\P(X < 1) \leq 0,05\\P(X=0) \leq 0,05\\\left(\frac{5}{6}\right)^{n} \leq 0,05\\ e^{n \ln(\frac{5}{6})} \leq 0,05\\ \ln( e^{n \ln(\frac{5}{6})}) \leq \ln(0,05)\\n \ln\left(\frac{5}{6}\right) \leq \ln(0,05)\\ n \geq \frac{\ln(0,05)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)} \approx 16,4$