Verified answer

Bonjour

1er ex)

u(3/5;4/5) et v(-4/5;3/5)

u.v ) 3/5 x (-4/5) + 4/5 x 3/5 = -12/25 + 12/25 = 0

donc u et v sont orthogonaux

||u|| = √[(3/5)² + (4/5)²] = √[9/25 + 16/25] = 1

de même ... ||v|| = 1

donc (u;v) est uine base orthonormée du plan

2) w = -2i + j

5u = 3i + 4j et 5v = -4i + 3j

⇒ 20u = 12i + 16j et 15v = -12i + 9j ⇒ 25j = 20u + 15v ⇒ j = (4/5)u + (3/5)v

et 15u = 9i + 12j et -20v = 16i - 12j ⇒ 25i = 15u - 20v ⇒ i = (3/5)u - (4/5)v

soit w = -2[(3/5)u - (4/5)v] + [(4/5)u + (3/5)v]

= (-2/5)u + (11/5)v

⇒ w(-2/5 ; 11/5) dans (u,v)

2nd ex)

1) point de baignade : M est l'intersection de (AB) avec la perpendiculaire passant par J

soit M(x;y) ⇒ JM(x - 2 ; y - 4)     et AB(4;3)

JM.AB = 0 ⇒ 4(x - 2) + 3(y - 4) = 0 ⇔ 4x + 3y - 20 = 0 (équation de (JM))

équation de la droite (AB) :

AB(4:3) ⇒ (AB) : -3x + 4y + c = 0

A ∈ (AB) ⇒ -3*1 + 4*(-1) + c = 0 ⇒ c = 7

⇒ (AB) : -3x + 4y + 7 = 0

M(x,y) ∈ (AB) et M ∈ (JM) ⇒

4x + 3y - 20 = 0      (1)

et

-3x + 4y + 7 = 0         (2)

4 x (1)  - 3 x (2) ⇒ 16x + 12y - 80 + 9x - 12y - 21 = 0 ⇒ 25x = 101 ⇒ x = 101/25 = 4,04

et y = (20 - 4x)/3 = ... = 96/75 = 1,28

2) il a parcouru  ||JM|| = JM

JM(4,04 - 2 ; 1,28 - 4) soit JM(2,04 ; -2,72)

⇒ JM = √(2,04² + (-2,72)²) = √(11,56) = 3,4 donc 340 m