Bonjour a tous , je suis bloqué sur ce problème. Je sais bien qu'il faut le poser en équation comme suit :
x+10=a^2
x+79=b^2
mais je reste bloqué ici
Exercice 2: Céline dit à Jean : « Trouve le nombre entier auquel je pense. Si je lui ajoute 10, j'obtiens le carré d'un nombre entier. Si je lui ajoute 79, j'obtiens le carré d'un autre nombre entier. »> Jean réfléchit et dit : « Il n'y a pas qu'un seul nombre possible, il y en a deux ! >> Donner les deux solutions. Justifier. Il n'est pas forcément demandé ici une modélisation mathématique. Toute recherche numérique qui répond au problème sera validée.
x+10=a^2
x+79=b^2
mais je reste bloqué ici
Exercice 2: Céline dit à Jean : « Trouve le nombre entier auquel je pense. Si je lui ajoute 10, j'obtiens le carré d'un nombre entier. Si je lui ajoute 79, j'obtiens le carré d'un autre nombre entier. »> Jean réfléchit et dit : « Il n'y a pas qu'un seul nombre possible, il y en a deux ! >> Donner les deux solutions. Justifier. Il n'est pas forcément demandé ici une modélisation mathématique. Toute recherche numérique qui répond au problème sera validée.
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x + 10 = a^2
De même, si l'on ajoute 79 à ce nombre entier, on obtient un carré d'un autre nombre entier, donc :
x + 79 = b^2
En soustrayant les deux équations, on obtient :
(b^2 - a^2) = 69
On peut factoriser cette expression :
(b + a)(b - a) = 69
Comme 69 est un nombre impair, b + a et b - a doivent être tous deux impairs ou tous deux pairs. Les seules façons de factoriser 69 sont donc :
69 x 1 = 69 x 1
23 x 3 = 69 x 1
Ainsi, on a deux possibilités :
b + a = 69 et b - a = 1
b + a = 23 et b - a = 3
Dans le premier cas, en ajoutant les deux équations, on a :
2a + 68 = 69
Ce qui donne :
a = 1/2
Cela n'est pas possible car a doit être un nombre entier. Donc la première possibilité est écartée.
Dans le deuxième cas, en ajoutant les deux équations, on a :
2a + 22 = 23
Ce qui donne :
a = 1/2
Cela n'est pas possible pour la même raison que précédemment. Donc la deuxième possibilité est également écartée.
Ainsi, il n'y a pas de solution possible pour ce problème.