Réponse :

1) u est une racine dans C du polynome P <=> P(u) = 0 <=> a.u^4 + b.u^3 + c.u^2 + b.u + a = 0 <=> u^4 + b/a.u^3 + c/a.u^2 + b/a.u^3 + 1 = 0 car a≠0

2)

a) P(0) = a ≠ 0, 0 n'est pas une racine de P donc n'est pas solution de (E)

b) Pour tout z de C*, Q(z)/z² = z^(4-2) + alpha.z^(3-2)+beta.z^(2-2)+alpha.z^(1-2)+1.1/z² = z² + alpha.z + beta + alpha.1/z + 1/z²

c) pour tout z de C*, Z² = (z+1/z)² = z² + 2.z.1/z +(1/z)² = z² + 2 + 1/z²

donc z² + 1/z² = Z² - 2

pour tout z de C*, Q(z) = 0 peut s'écrire: z² + alpha.z + beta + alpha.1/z + 1/z² = 0 soit Z² + alpha.Z + beta - 2 = 0

3) Pour tout z de C*, z + 1/z = k <=> z² - kz + 1 = 0 <=> (z - k/2)² + (1-k²/4) = 0

Il y aura deux solutions réelles si 1 - k²/4 < 0 <=> 1 < k²/4 <=> 4 < k² <=> k> 2 ou k<-2

4) Cette équation est de la forme z^4 + alpha.z^3 + beta.z² + alpha.z + 1 = 0

On peut donc résoudre d'abord Z² + alpha.Z + beta - 2 = 0 qui devient

Z² + 2.Z +1 = 0

Cette équation admet une unique solution double, -1

On résout ensuite dans C* z + 1/z = -1 <=> z² + z + 1 = 0 <=> (z+1/2)²+3/4

L'équation admet deux solutions: -1/2 + racine(3)/2 .i ET -1/2 - racine(3)/2 .i

Explications étape par étape

1) Raisonnement par équivalence

2) a) On utilise l'équivalence prouvée en question 1

b) manipulation de puissances

c) substitution par Z

3) Manipulation d'équation

4) Application de la transformation d'équation vue dans l'exercice