Réponse :

1) vérifier que les nombres suivants sont des carrés parfaits

2 x 3 x 4 x 5 + 1 = 121 = 11²

3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 361 = 19²

4 x 5 x 6 x 7 + 1 = 841 = 29²

2)  a) soit n un entier; montrer que (n+1)(n+2) = n(n + 3) + 2

(n+1)(n+2) = n² + 3 n + 2  = n(n + 3) + 2

     b) en déduire que  n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 est un carré parfait

          n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = n(n+3)(n+1)(n+2) + 1

                                          = (n² + 3 n)(n² + 3 n + 2) + 1     on pose  a = n²+3n

                                          = a(a + 2) + 1

                                          = a² + 2 a + 1     identité remarquable

                                          = (a + 1)²   est un carré parfait

Explications étape par étape :