Verified answer

Bonjour,

Ex 3) e(1,1,1) f(1,2,3) et gₐ(a,a³,a⁵)

Pour la famille (e,f,gₐ) soit libre, il faut que pour toute combinaisons linéaire :

Si me + pf + qgₐ = 0, alors (m,p,q) = (0,0,0)

Soit :

m + p + aq = 0         (1)

m + 2p + a³q = 0     (2)

m + 3p + a⁵q = 0     (3)

(2) - (1) ⇒ p + (a³ - a)q = 0    ⇔ p + a(a - 1)(a + 1)q = 0       (4)

(3) - (2) ⇒ p + (a⁵ - a³)q = 0  ⇔ p + a³(a - 1)(a + 1)q = 0      (5)

(5) - (4) ⇒ (a³ - a)(a - 1)(a + 1)q = 0 ⇔ a(a - 1)²(a + 1)²q = 0

⇒ a = 0 ou a = 1 ou a = -1 ou q = 0

Or :

. Si a = 0, gₐ = (0,0,0) impossible pour une base de R³

. Si a = 1 ou -1, gₐ = (1,1,1) = e ou gₐ = (-1,-1,-1) = -e, donc (e,f,gₐ) non libre

⇒ q = 0

Alors : (4) ⇒ p = 0 et (1) ⇒ m = 0

Donc (e,f,gₐ) est une famille libre pour tout a ∈ R - {-1,0,1}

. Pour que la famille soit génératrice :

Soit v(x,y,z) un vecteur quelconque de R³. Il faut déterminer (m,p,q) tel que :

v = me + pf + qgₐ

Soit :

m + p + aq = x         (1)

m + 2p + a³q = y     (2)

m + 3p + a⁵q = z     (3)

(2) - (1) ⇒ p + (a³ - a)q = y - x    ⇔ p + a(a - 1)(a + 1)q = y - x       (4)

(3) - (2) ⇒ p + (a⁵ - a³)q = z - y  ⇔ p + a³(a - 1)(a + 1)q = z - y      (5)

(5) - (4) ⇒ (a³ - a)(a - 1)(a + 1)q = z - 2y + x ⇔ a(a - 1)²(a + 1)²q = z - 2y + x

⇒ q = (z - 2y + x)/a(a - 1)²(a + 1)²

En remontant le système on peut de même exprimer de façon unique p puis m.

Donc (e,f,gₐ) est génératrice.

libre et génératrice ⇒ (e,f,gₐ) base de R³ pour tout a ∈ R - {-1,0,1}

Ex 4

1) Pour tout couple de fonctions appartenant à E :

f(x) = ax² + bx + c et g(x) = a'x² + b'x + c'

et pour tout couple (m,p) ∈ R²,

mf(x) + pg(x) = (ma + pa')x² + (mb + pb')x + (mc + pc')

Or : ((ma + pa'), (mb + pb'), (mc + pc')) ∈ R³

⇒ mf + pg ∈ E

⇒ E stable par combinaisons linéaires à coef. réels.

2) Pour toute fonction F(x) = mx² + px + q ∈ E :

F(x) = mf(x) + pg(x) + qh(x) avec f(x) = x², g(x) = x et h(x) = 1

⇒ (x²,x,1) est une famille génératrice de E

et (x²,x,1) libre : Si ax² + bx + c = 0 pour tout x, alors a = b = c = 0

⇒ (x²,x,1) est une base de E et E est de dimension 3

3) évident...

4) f₀(x) = x² - 1

   f₁(x) = x² + x  

   f₂(x) = x² - x

(af₀ + bf₁ + cf₂)(x) = (a + b + c)x² + (b - c)x - a

f₃ combinaison linéaire de (f₀,f₁,f₂) ⇒

a + b + c = 0          ⇒ -1 + 2b = 0

b - c = 0 ⇒ b = c

- a = 1   ⇒ a = -1

⇒ (a, b, c) = (-1, 1/2, 1/2)

⇒ f₃ = -f₀ + 1/2f₁ + 1/2f₂

5) et 6) Même méthode : existe-t-il (a,b,c) ∈ R³ / Oe et f ∈ E