Bonjour;

Soit E un espace vectoriel sur un corps K.

Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si elle contient le vecteur nul 0E et elle est stable par combinaisons linéaires.

1)

Soit f une fonction non nulle de IR dans IR telle que pour tout

x de IR f(x) ≥ 0 ; donc la fonction 2f est aussi une fonction non

nulle de IR dans IR telle que pour tout x de IR 2f(x) ≥ 0 .

On a pour tout x de IR , f(x) - 2f(x) = - f(x) ≤ 0 ; donc l'ensemble

des fonctions f de IR dans IR telle que pour tout x de IR f(x) ≥ 0

n'est pas stable par combinaisons linéaires , donc ce n'est pas

un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de IR

dans IR .

2)

La fonction nulle qui est l'élément neutre de l'ensemble

vectoriel des fonctions de IR dans IR , est une fonction

impaire , donc elle appartient à l'ensemble étudié .

De plus pour tout couple de scalaires (u ; v) et pour tout

couples de fonctions impaires (f ; g) , on a :

(u . f + v . g)(- x) = u . f(- x) + v . g(- x) = - u . f(x) - v . g(x)

- (u . f(x) + v . g(x)) = - (u . f + v . g)(x) ;

donc l'ensemble étudié est stable par combinaisons

linéaires , donc c'est un sous-espace de l'ensemble des

fonctions de IR dans IR .

3)

Soit f une fonction non nulle de IR dans IR telle que pour tout

x de IR f(x) = x qui est une fonction croissante ; donc la fonction

2f est aussi une fonction croissante non nulle de IR dans IR

telle que pour tout x de IR 2f(x) = 2x .

On a pour tout x de IR , f(x) - 2f(x) = - x = - f(x) ≤ 0 ; donc la

fonction f - 2f est une fonction décroissante , donc l'ensemble

des fonctions croissantes de IR dans IR n'est pas stable par

combinaisons linéaires , donc ce n'est pas un sous-espace

vectoriel de l'ensemble des fonctions de IR dans IR .