Réponse :

1) soient  n ; n+1 , n+2, n+3  entiers consécutifs

       S = n + n+1 + n+2 + n+3 = 4 n + 10 = 2(2 n + 5)   2 n + 5 = k  est un entier

    donc   S = 2 k     est pair

2) Montrer que pour tout entier n impaire, l'expression 3 n²+2 n + 1  définie un entier pair

 n impaire ⇔ il existe un entier k ∈ Z  tel que n = 2 k + 1

  3(2 k + 1)² + 2(2 k + 1) + 1 = 3(4 k² + 4 k + 1) + 4 k + 2 + 1

  = 12 k² + 12 k + 3 + 4 k + 3 = 12 k² + 16 k + 6 = 2(6 k² + 8 k + 3)

or 6 k²+8 k + 3  ∈ Z   et on pose  k' = 6 k² + 8 k + 3   donc  k' ∈ Z

Donc  on obtient  3 n² + 2 n + 1 = 2 k'   donc  pair

3) Montrer que, pour tout entier n, l'expression n² + 3 n est un entier pair

     n : pair  ⇒ n = 2 k    k ∈ Z

     (2 k)² + 3(2 k) = 4 k² + 6 k = 2(2 k² + 3 k)   or  2 k²+ 3 k ∈ Z  et on pose  k' = 2 k² + 3 k   donc  k' ∈ Z

     donc n² + 3 n = 2 k'    pair

    n : impair ⇒ n = 2 k + 1     k ∈ Z

    (2 k + 1)² + 3(2 k + 1) = 4 k² + 4 k + 1 + 6 k + 3 = 4 k² + 10 k + 4

    = 2(2 k² + 5 k + 2)    or  2 k² + 5 k + 2 ∈ Z  ∈ Z et on pose  k' = 2k²+5k+2

donc k' ∈ Z    donc  n² + 3 n = 2 k'  pair

donc pour tout entier n,  n²+3 n est un entier pair

ex4

pour x > 0 , comparer les nombres

   x/(x+1)  ;   (x + 1)/(x +2)

x(x+2)/(x+1)(x+2) = (x² + 2 x)/(x+1)(x+2)

(x+1)²/(x+1)(x+2) = (x² + 2 x + 1)/(x+1)(x+2)

or x²+ 2 x + 1 > x² + 2 x    donc    (x+1)/(x+2) > x/(x+1)  

Explications étape par étape