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bonne soirée

Bonjour,

1) MM' = BM - BM'

BM' = BC = 4

et BM² = BC² + CM² (Pythagore dans BCM rectangle en C)

soit BM² = 4² + x²

⇒ f(x) = MM' = √(x² + 16) - 4

2) décomposition de f :

x → x² → x² + 16 → √(x² + 16) → √(x² + 16) - 4

  p     q             r                 s          

⇒ f = s o r o q o p

avec :

p(x) = x²

q(x) = x + 16

r(x) = √(x)

s(x) = x - 4

Variations de p(x) sur [0,4] :

p est la fonction carré donc strictement croissante sur [0,4]

et p(x) ∈ [0;16]

Variations de q(x) sur [0,16] :

q est une fonction affine de coefficient directeur positif. Donc strictement croissante sur [0;16]

et q(x) ∈ [16;32]

Variations de r(x) sur [16;32] :

r est la fonction racine carrée, donc strictement croissante sur [16;32]

et r(x) ∈ [√16 ; √32] soit à [4;4√2]

Variations de s(x) sur [4;4√2] :

s est une fonction affine de coefficient directeur positif donc strictement croissante sur [4;4√2]

et s(x) ∈ [4 - 4 ; 4√2 - 4] soit [0;4(√2 - 1)]

Conclusion : f est composée de 4 fonctions croissantes donc f est strictement croissante sur [0;4].

3) f(x) ≥ 2

⇔ √(x² + 16) - 4 ≥ 2

⇔ √(x² + 16) ≥ 6

⇒ x² + 16 ≥ 6²

⇔ x² ≥ 20

⇒ x ≥ √20 soit 2√5

soit environ 4,47...donc impossible car supérieur à 4, ou bien M est extérieur à [DC].