Montrons que est surjective, c'est à dire que pour tout , l'équation .
.
Donc à chaque , correspond un antécédent , est donc surjective.
Donc est une bijection de .
On calcule la fonction réciproque .
On a:
est injective. Soient , tel que :
.
Donc est injective.
Montrons que est surjective. Soit , montrons qu'il existe , tel que .
.
Donc à chaque , correspond un antécédent .
Donc est surjective. Par suite est bijective.
Déterminons sa fonction réciproque :
est injective. Soient , tel que , montrons que .
.
Puisque , donc la deuxième équation a bien un sens dans [-1;1].
On en déduit que n'est pas injective, et donc non bijective de .
4) Montrons que est injective. Le raisonnement est le même que pour , puisque c'est la même expression, mais ici , mais dans ce cas n'a pas de sens car et .
On ne garde que la première équation, donc pour tous , tel que , implique .
est donc bien injective de .
Montrons que est surjective de .
Soit , montrons que l'équation a une solution.
.
Seule la solution .
Vérifions que cette solution est bien définie, c'est à dire que :
.
Donc la solution est bien définie.
Enfin, montrons que cette solution appartient bien à l'intervalle [0;1]:
.
, donc chaque solution de l'équation , appartient bien à l'ensemble de départ de .
est donc surjective, et donc bijective de .
Déterminons sa fonction réciproque :
.
Seule la solution , donc la fonction réciproque recherchée est celle-ci.
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Réponse : Bonjour,
1) Montrons que
est injective.
Soient
, tel que
, et montrons que
.
Donc
est injective.
Montrons que
est surjective, c'est à dire que pour tout
, l'équation
.
Donc à chaque
, correspond un antécédent
,
est donc surjective.
Donc
est une bijection de
.
On calcule la fonction réciproque
.
On a:
Donc
est injective.
Montrons que
est surjective. Soit
, montrons qu'il existe
, tel que
.
Donc à chaque
, correspond un antécédent
.
Donc
est surjective. Par suite
est bijective.
Déterminons sa fonction réciproque
:
Puisque
, donc la deuxième équation a bien un sens dans [-1;1].
On en déduit que
n'est pas injective, et donc non bijective de
.
4) Montrons que
est injective. Le raisonnement est le même que pour
, puisque c'est la même expression, mais ici
, mais dans ce cas
n'a pas de sens car
et
.
On ne garde que la première équation, donc pour tous
, tel que
, implique
.
Montrons que
est surjective de
.
Soit
, montrons que l'équation
a une solution.
Seule la solution
.
Vérifions que cette solution est bien définie, c'est à dire que
:
Donc la solution est bien définie.
Enfin, montrons que cette solution appartient bien à l'intervalle [0;1]:
Déterminons sa fonction réciproque
:
Seule la solution
, donc la fonction réciproque recherchée est celle-ci.