Bonjour

1)

limite de f(x) en -∞= +∞
limite de f(x) en +∞= -∞

2)

limite de f(x) en 2 -  = +∞     (x<2)
limite de f(x) en 2+ = -∞ ( x>2)

en x= 2  la courbe admet une asymptote verticale
d'équation x = 2

3)

a)

f(x) - (-2x +3) =

( -2x² +7x -8 ) / (x-2) - (-2x +3)

= -2/(x-2)

b)

 d(x) est l' écart vertical algébrique entre la courbe et son asymptote

selon que cette quantité soit positive ou négative ( c'est à dire au dessus ou en dessous l'axe des abscisses) cela va nous permettre de déterminer la position relative de Cf par rapport à son asymptote.

c)

limite de d(x) en +∞= 0

( se comporte comme la fonction de référence 1/x)

on peut affirmer que la droite D d’équation y = -2x + 3 

est asymptote à Cf puisqu’à l’infini, la fonction (-2 / (x + 2)) tend vers zéro.

d)

signe de d(x)

x-2 >0 => x> 2

donc

et

-2/(x-2) <0 quand x >2

on peut en déduire que :

sur ]-∞;2[

-2/(x-2) >0

donc  f(x) > -2x + 3

 et graphiquement ça se traduit par : 

 Cf est au-dessus de l’asymptote D   sur ]-∞;2[

Inversement

sur ]2;+∞[ 

Cf est au-dessous de l’asymptote D

4)

dérivée :

on utilise la formule u'v-uv' /v²

u= -2x²+7x-8

u'= -4x+7

v=x-2

v'=1

=(-2x²+8x-6) /(x-2)²

= -2( x²-4x+3) / (x-2)²

signe de la dérivée

voir tableau de variations joint 

5)

équation de la tangente en x=3

formule

f(xo) + f'(xo) (x-xo)

f(3) + f'(3) (x-3)

f(3) = -5

f '(3) = 0

-5 + 0(x-3) = -5

donc en définitive 

y = -5

c'est une tangente horizontale

6)

voir graphique

2 tangentes horizontales (D) et (T)

d'équation respectives

yD =3

yT= -5