Réponse :

f(x)=-x²+10x+75

Explications étape par étape

1)f(x)=0   soit -x²+10x+75=0  delta=100+300=400

x1=(-10-20)/-2=15  et x2=(-10+20)/-2=-5

f(x) est une parabole  donc la verticale passant par son sommet est un axe de symétrie

coordonnées du sommet :

xS=(x1+x2)/2=5

yS=f(5)=-5²+10*5+75=100

3)oui dans un repère orthogonal (1cm pour 2m en abscisse et 1cm pour 20m en ordonnée)

4) équation de l'axe de symétrie x=5

5) Coordonnées de A:

yA=64 (valeur donnée) et xA est une des solutions de f(x)=64

soit -x²+10x+75=64

-x²+10x+11=0 Delta=144

solution x3=(-10-12)-2=11  et x4=(-10+12)/-2=-1

les coordonnées de A (-1;64)

6) l'équation de la tangente est donnée par la formule

y=f'(xA)(x-xA)+f(xA) sachant que f'(x)=-2x+10 donc  f'(-1)=12

y=12(x+1)+64=12x+76

7) Sachant que l'oeil de l'observateur est  a 2m du sol il faut résoudre y=2

soit 12x+76=2

12x=-74 donc x=-37/6  environ -6,1 m ceci est la distance par au point O du repère; la distance par rapport au pied de la colline est de -5-(-6,1)=1,1 m

8) le sommet de l'antenne est l'intersection de la tangente y=12x+76 avec la droite d'équation x=5

il suffit de remplacer x par 5

h=12*5+76=136 m