Bonjour;

Partie A .

1)

On a : lim(x --> - ∞) exp(x) = 0 et lim(x --> - ∞) 2x = - ∞ ;

donc : lim(x --> - ∞) g(x) = lim(x --> - ∞) 2exp(x) + 2x - 5 = - ∞ .

On a : lim(x --> + ∞) exp(x) = + ∞ et lim(x --> + ∞) 2x = + ∞ ;

donc : lim(x --> + ∞) g(x) = lim(x --> + ∞) 2exp(x) + 2x - 5 = + ∞ .

2)

On a : g(x) = 2exp(x) + 2x - 5 ;

donc : g'(x) = 2exp(x) + 2 > 0 pour tout x ∈ IR ;

donc g est strictement croissante sur IR .

3)

La fonction est continue sur IR comme somme de fonctions

continues sur IR , et On a g(0,627) ≈ - 0,002 < 0  

et g(0,628) ≈ 0,004 > 0 ; donc en appliquant le théorème des

valeurs intermédiaires l'équation g(x) = 0 admet une solution

sur l'intervalle ]0,627 ; 0,628 [ donc sur IR ;

et comme elle est strictement croissante sur IR cette solution

est unique . On nomme cette solution α .

4)

pour x ∈ ] - ∞ ; α [ g est strictement négative ;

et pour x ∈ ] α ; + ∞ [ g est strictement positive .