Réponse :

A)  1) déterminer le montant des coûts fixes

         C(0) = 172 €

     2) C(10) = 0.01 *10³ - 0.165*10² + 38.72*10 + 172 = 10 - 16.5 + 387.2 + 172

                   = 552.7 €

      3)  Df = [0 ; 50]

B) 1) R(10) = 80 * 10 = 800 €

     2) R(x) = 80 x

 C) 1) B(10) = R(10) - C(10 = 800 - 552.7 = 247.3 €

     2) B(x) = R(x) - C(x) = 80 x - (0.01 x³ - 0.165 x² + 38.72 x + 172)

                                    = 80 x - 0.01 x³ + 0.165 x² - 38.72 x - 172

                                B(x) = - 0.01 x³ + 0.165 x² + 41.28 x - 172  

      3) montrer que B '(x) = - 0.03(x - 43)(x + 32)

             B(x) = - 0.01 x³ + 0.165 x²+ 41.28 x - 172  

             B '(x) = - 0.03 x² + 0.33 x + 41.28

                      = - 0.03(x² - 11  x - 1376)

      B '(x) = - 0.03(x - 43)(x + 32) = - 0.03(x² + 32 x - 43 x - 1376)

               = - 0.03(x² - 11 x  - 1376) =  - 0.03(x² - 11 x  - 1376

donc    B '(x) = - 0.03(x - 43)(x + 32)

    4) étudier le signe de B '(x)

          x + 32 > 0  donc le signe de B '(x) dépend du signe de - 0.03(x - 43)

or - 0.03 < 0

x          0                         43                      50

x-43                  -              0             +

- 0.03(x-43)       +             0             -

 5) en déduire les variations de B

    x      0                             43                            50  

   B(x) - 172 →→→→→→→→→→→ 1113 →→→→→→→→→→ 1056.5

                        croissante               décroissante

   6) elle doit réaliser 43 sacs pour avoir un bénéfice maximal de 1113 €

Explications étape par étape