Bonjour

Partie A

1)

U(n+1) = -1/2 U²n+3Un-3/2

Uo = 2

U1= -1/2Uo+3Uo-3/2

=-1/2*2+3*2-3/2

= 5/2

U2= -1/2U1+3U1-3/2

=23/8

U3=383/128 = 2,99219 à 10^-5 près

U4= 98303/32768 = 2,99997

conjecture

la suite est croissante

et elle converge vers 3

partie B

1)

vn =Un-3

V(n+1) =u(n+1) -3

=-1/2 U²n +3Un-3/2-3

=-1/2 U²n +3Un-9/2

on met -1/2 en facteur

=-1/2 (U²n -6Un+9)

identité remarquable

= -1/2 (un-3)²

= -1/2V²n

2)

Uo = 2

Vo =Uo-3=2-3= -1

V(n+1) = U(n+1) -3 =

il faut démontrer que -1 ≤ Vn ≤ 0

initialisation

pour n=0

Vo = -1

-1 ≤ -1 ≤ 0

-1 ≤ Vo ≤ 0

donc la propriété est vraie au rang 0  c'est à dire pour n = 0

hérédité

soit n un entier naturel

supposons que -1 ≤ Vn ≤ 0 soit vrai

        (hypothèse de récurrence)

il faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant

c'est à dire que :

-1 ≤ V(n+1) ≤ 0

démonstration  de l'hérédité

V(n+1) = -1/2 Vn²

-1 ≤ Vn ≤ 0

(-1)² ≤ V²n ≤ 0 ²

1 ≤ V²n ≤ 0

1* -1/2≤ V²n*-1/2 ≤ 0 *-1/2

- ½ ≤ -1/2 V²n ≤ 0

-½ ≤ -1/2 V²n ≤ 0

- ½ ≤ V(n+1) ≤ 0

si V(n+1) ≥ -1/2

elle est à fortiori ≥ -1

donc on a

-1 ≤ V(n+1) ≤ 0

donc l'égalité est vérifiée au rang n+1

donc la propriété est héréditaire  

3)

a)

on sait que V(n+1)= -1/2 V²n

donc

V(n+1) -Vn

= -1/2 V²n -Vn

on met -Vn en facteur

=- Vn(1/2 Vn +1)

b)

-Vn est positif

car -1 ≤ Vn ≤ 0

et 1/2 Vn +1 est positif

(car 1/2*-1 +1 = ½)

donc - Vn(1/2 Vn +1) > 0

V(n+1) -Vn >0

la suite est croissante

4)

Vn converge car elle admet une limite finie

5)

l = -1/2 l²

=>   1/2 l²  + l = 0

Δ =1

l1 =-2

l2= 0

-2∉ à l'intervalle de définition

donc la limite est 0

l=0

6)

oui la conjecture est validée

Comme Vn = Un-3   => Un = Vn +3

On a démontré que limite de Vn = 0

donc limite de Un = 0+3 = 3