Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1) a1 = 5

 a2 = 2a1 - 2
a3 = 2a2 - 3

donc an+1 = 2an - (n+1)

2) (pn) : an = 2^n + n + 2

Initialisation
a1 = 2^1 + 1 +2 = 2 + 1 + 2=5
Donc (P1) est vraie

Hérédité
Admettons an = 2^n + n + 2
Montrons qu'alors P(n+1) vraie soit an+1 = 2(n+1 )+ (n+1) +2

an+1 = 2an - (n+1)
       = 2 (2^n + n + 2) -(n+1)
       = 2X^n + 2n + 4 - n - 1
        = 2^(n+1) + n + 3
        = 2^(n+1) +( n +1) + 2
Donc si (Pn) vraie alors P(n+1) vraie
L'hérédité est vérifiée

La propriété est héréditaire et vraie pour n = 1, elle est donc vraie pour tout entier n>0
On a donc : an = 2^n + n + 2 pour n>0

3) a10 = 2^10 + 10 +2
          = 2^10 + 12
   a10 = 1036
Le 10eme Ministre recevra 1036 pièces