Réponse :

Soit   Un = (2 n - 1)/(n+1)  pour tout n ≥ 0

Un = f(n)  donc  f(x) = (2 x - 1)/(x + 1)  définie sur [0 ; + ∞[

f '(x) = (2(x + 1) - (2 x - 1))/(x+1)² = (2 x + 2 - 2 x + 1)/(x+1)² = 3/(x+ 1)²  > 0

donc  f est croissante sur [0 ; + ∞[  , alors (Un) est croissante sur N

Un+1 = Un² - Un + 1  avec U0 = 2

Un+ 1 - Un = Un² - 2Un + 1 = (Un - 1)² ≥ 0  pour tout n ∈ N

donc Un+1 - Un ≥ 0  donc  la suite (Un) est croissante sur N

Explications étape par étape