1) J'applique le théorème de Pythagore aux triangles rectangles AMD, MBN et DCN.

triangle AMD : AM = 1    AD = 3    MD² = AM² + AD² = 1 + 3² = 10

triangle MBN : BN = 1  MB = 3      MN² = 10

triangle DCN : DC = 4     NC = 2   DN² = DC² + NC² = 4² + 4 =20

J'applique la réciproque du théorème de Pythagore au triangle DMN

DN² = 20   MN² = 10  MD² = 10  (20 + 10 + 10)

Puisque DN² = MN² + MD²  alors le triangle DMN est un triangle rectangle, DN es l'hypoténuse et M le sommet de l'angle droit.

MD perpendiculaire à MN

2) puisque MN² = 10  MD² = 10 les côtés MN et MD ont la même longueur

le triangle rectangle DMN est isocèle. La hauteur MH relative à l'hypoténuse est aussi médiane. Dans un triangle rectangle la médiane relative à l'hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l'hypoténuse :

MH = 1/2 DN      DN² = 20      DN = √20 = √(4x5) = 2√5    MH = √5