Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

f(x) = - 3x² - 6x + 24 = -3 ( x² + 2x - 8)

méthode 1

recherche les valeurs qui annulent f(x)

f(x) = 0 si

-3 ( x² + 2x - 8) = 0

si  x² + 2x - 8 = 0

Calcul du discriminant Δ

Δ = b² - 4 ac

avec a = 1 b = 2 et c = - 8

Δ = (2)² - 4 (1)(8)

Δ = 4 + 32

Δ = 36> 0 et √Δ = √36 = 6

donc l'équation x² + 2x - 8 = 0 admet 2 solutions :

x₁ = ( - b - √Δ) / 2 a et x₂ = ( - b + √Δ) / 2 a

avec a = 1 b = 2 et c = - 8

x₁ = ( - ( 2) - 6 ) /(2(1)) et x₂ = ( - ( 2) + 6 ) /(2(1))

x₁ = ( - 8) /(2) et x₂ = (4)/2

x₁ = - 4 et x₂ = 2

donc l'équation x² + 2x - 8 = 0 peut s'écrire de la forme a(x - x₁)(x - x₂) = 0

avec a = 1 , x₁ = - 4 et x₂ = 2

donc l'équation x² + 2x - 8 = 0 est équivalente à 1(x + 4) (x -2)

donc f(x) = 0 peut s'écrire de la forme

-3 ( x + 4) (x -2) = 0

Nous déduisons la valeur de m qui est - 4

méthode 2

Nous partons de - 3 (x -2)(x -m) = f(x) = -3 ( x² + 2x - 8)

Nous développons la forme puis par identification des coefficients nous

trouvons la valeur de m

- 3 (x -2)(x -m) = f(x) = -3 ( x² + 2x - 8)

donc - 3 (x -2)(x -m) = -3 ( x² + 2x - 8)

donc  (x -2)(x -m) = ( x² + 2x - 8)

donc x² - mx + 2x + 2 m = x² + 2x - 8

donc x² x(-m + 2) + 2 m = x² + 2x - 8

par identification des coefficients ,nous avons

- m - 2 = 2 et 2 m = - 8

donc = m = - 4 et nous vérifions que - m - 2 = 2

donc m = - 4 et - ( -4) - 2 = 4 - 2 = 2

b)

f(x) = - 3x² - 6x + 24 = -3 ( x² + 2x - 8)

les coordonnées du sommet de la parabole sont :

x = - b/2a et y f(-b/2a)

a = 1 b = 2 et c = - 8

x = (-2)/(2(1)) = - 2/2 = - 1

y = f(-b/2a) = f(-1) = - 3( (-1)² + 2(-1) -8) = -3 (1 - 2 - 8) = 27

donc le sommet de la parabole est (-1,27)

c)

Nous déduisons le tableau de variations

tableau de variations de f

x                     -∞                      -  4                   - 1               2                    +∞

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-3 (x+4)                          +            ⊕             -                -                 -

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x + 2                               -                              -            -            ⊕                  +

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signe de f(x)                -               ⊕              +            +           ⊕                 -

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f(x)                             croissante                    27                décroissante

                                                                      sommet