Bonjour Bonjour ^^ Je voudrais savoirs , après quelques heures de réflexion , la réponse a ce problè.... Pergunta de ideia deMrRobot62

May 2019 1 40 Report

Bonjour Bonjour ^^
Je voudrais savoirs , après quelques heures de réflexion , la réponse a ce problème qui pour moi me semble impossible , je suis en bac pro vente ,

Deux plaques de tôle de même épaisseur et de même matière ont la même masse . L'une est un triangle équilatérale, l'autre rectangulaire . La longueur du rectangle mesure 4 cm de plus que sa largeur et la mesure d'un côté du triangle mesure 1 cm de plus que la longueur du rectangle.
Quelles sont les dimensions de ces deux plaques ?

Avec tout le respect qui se doit , Justin

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Alcide

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Puisque l'épaisseur et la matière des deux plaques sont identiques et qu'elles sont de même masse, cela signifie donc que leur surface sont également identiques.
En effet, les masses étant égales, les quantités de matière sont identiques sur ces 2 plaques. Puisqu'il s'agit de la même matière, leurs volumes sont donc identiques et puisque les épaisseurs sont identiques, comme le volume est égale au produit de la surface par l'épaisseur, les surfaces sont identiques.

Surface de la plaque rectangulaire
Notons L, la longueur de la plaque rectangulaire.
Nous savons que la largeur mesure 4 cm de moins soit : L- 4 (en cm).
La surface de la plaque rectangulaire est le produit de sa longueur par sa largeur, soit en cm² : $S_R= L*l=L(L-4)=L^2-4L$

Surface de la plaque triangulaire
La plaque triangulaire est un triangle équilatérale. On peut trouver que la surface d'un triangle équilatérale est égale à $\frac{\sqrt{3} }{4} a^2$ (si on note "a" la longueur du côté du triangle).
On peut trouver cela ici, par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_%C3%A9quilat%C3%A9ral

Mais nous pouvons aussi le démontrer.
En effet la surface d'un triangle, quel qu'il soit, est égale à la moitié du produit des longueurs de la hauteur et de la base :
$S_T= \frac{Base*Hauteur}{2}$

Ici, il s'agit d'un triangle équilatéral, donc les hauteurs relient toutes un sommet au milieu du côté opposé, en étant perpendiculaire à ce côté opposé.
Ainsi si ABC est un triangle équilatéral, et M le milieu de [BC], le segment [AM] est une des 3 hauteurs de ABC et AMB forme un triangle rectangle en M.
Donc,d'après le théorème de Pythagore : AM² + BM² = AB²

Si on note "a" la longueur de AB, le triangle ABC étant équilatéral : BC = a.
M étant le milieu de BC : $BM = \frac{a}{2}$

Si on note h, la longueur AM :
AM² + BM² = AB² ⇔ $h^2+( \frac{a}{2})^2= a^2$
⇔ $h^2=a^2- \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4} a^2$

Comme h est une longueur, il est forcément positif.
Donc $h=\frac{ \sqrt{3}}{2} a$

Or nous avons vu que $S_T= \frac{Base*Hauteur}{2}$
Ici, dans le triangle équilatéral ABC,
$Base=a\ et\ Hauteur=\frac{ \sqrt{3}}{2} a$
Donc
$S_T= \frac{Base*Hauteur}{2} = \frac{a*\frac{ \sqrt{3}}{2} a}{2} = \frac{ \sqrt{3}}{4} a^2$

Egalité des surfaces des deux plaques
Nous avons vu que les deux plaques ont des surfaces égales.
Donc $S_T=S_R$ ⇔ $\frac{ \sqrt{3}}{4} a^2=L^2-4L$
Or la longueur du côté de la plaque triangulaire mesure 1 cm de plus que la longueur de la plaque rectangulaire.
Donc $a=L+1$
et donc
$\frac{ \sqrt{3}}{4} a^2=L^2-4L$ ⇔ $\frac{ \sqrt{3}}{4} (L+1)^2=L^2-4L$
Par habitude et parce que c'est l'inconnue de l'équation, nous allons maintenant remplacer L par $x$ .
Donc l'équation est : $\frac{ \sqrt{3}}{4} (x+1)^2=x^2-4x$

On peut la simplifier en multipliant par 4 de chaque côté du signe égale, pour ne plus avoir de dénominateur :
$\frac{ \sqrt{3}}{4} (x+1)^2=x^2-4x$
⇔ $\sqrt{3} x^2+2 \sqrt{3} x+ \sqrt{3} =4x^2-16x$

Pour résoudre cette équation du second degré, il faut commencer par mettre tous les termes qui contiennent $x$ ou $x^2$ du même côté du signe égale.
$\sqrt{3} x^2+2 \sqrt{3} x+ \sqrt{3} =4x^2-16x$
⇔ $4x^2- \sqrt{3} x^2-16x-2 \sqrt{3} x- \sqrt{3} =0$
⇔ $(4- \sqrt{3}) x^2-(16+2 \sqrt{3}) x- \sqrt{3} =0$

On peut encore simplifier (mais ce n'est pas obligatoire) :
$(4- \sqrt{3}) x^2-(16+2 \sqrt{3}) x- \sqrt{3} =0$
⇔ $(4- \sqrt{3}) x^2-2(8+\sqrt{3}) x- \sqrt{3} =0$

Nous avons donc une équation du type ax²+bx+c qu'il faut résoudre en calculant le discriminant Δ = b²-4ac
Ici :
$\Delta=4(8+ \sqrt{3} )^2+4 \sqrt{3} (4- \sqrt{3} )$
$\Delta=4(64+16 \sqrt{3} +3)+16 \sqrt{3}-12} )$
$\Delta=256+64 \sqrt{3} +12+16 \sqrt{3}-12}$
$\Delta=256+80 \sqrt{3}$

Les solutions de l'équations sont donc données par les formules :
$x_1= \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}$
et $x_2= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}$

Soit dans notre cas particulier :
$x_1= \frac{2(8+ \sqrt{3}) - \sqrt{256+80 \sqrt{3} } }{2(4- \sqrt{3}) }$

et
$x_2= \frac{2(8+ \sqrt{3}) + \sqrt{256+80 \sqrt{3} } }{2(4- \sqrt{3}) }$

Avec une calculatrice, on trouve :
$x_1$ ≈ -0,09
et $x_2$ ≈ 8,67

Comme nous cherchons une longueur, seule la solution positive est à retenir.

Donc
- la longueur de la plaque rectangulaire mesure (environ) 8,67 cm
- la largeur mesure 8,67 - 4 = 4,67 cm
- chacun des côtés de la plaque triangulaire mesure 8,67 + 1 = 9,67 cm
- (et la surface de chacune de ces plaques est de 40,49 cm²)

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