Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

J'ai une petite difficulté que je n'arrive pas à lever pour l'instant mais je te donne là où j'en suis :

1) Je note INT1(F)e l'intégrale de F de 1 à e pour m'éviter le fastidieux éditeur d'équation. Et S(1/k!)n la somme de 0 à n des termes 1/k!

On fait une intégration par parties avec 1/x²=g'(x) et (lnx)^n=f(x)

In+1=INT1((lnx)^(n+1)/x²)e=[-(lnx)^(n+1)/x]-INT1((n+1)(lnx)^n/x*(-1/x))e

In+1=-lne^(n+1)/e+ln1^(n+1)/1+(n+1)*INT1((lnx)^n/x²)e

In+1=-1/e+(n+1)In

2) On calcule Io :

Io=INT1(1/x²)e=[-1/x]=-1/e+1=1-1/e

Or 1/0!=1 et S(1/k!)0=1/0! pour n=0 donc 1-1/eS(1/k!)0=1-1/e pour n=0

On a donc bien 1/0!*Io=1-1/e*S(1/k!)0 au rang 0

Supposons qu'au rang n on ait :

1/n!*In=1-1/e*S(12/k!)n

In+1=-1/e+(n+1)In

Donc In+1/(n+1)!=-1/(e(n+1)!)+(n+1)/(n+1)!*In

Or (n+1)/(n+1)!=1/n!

D'ou In+1/(n+1)!=-1/e*1/(n+1)!+In/n!

Soit In+1/(n+1)!=1-1/e*S(1/k!)n-1/e*1/(n+1)!

In+1/(n+1)!=1-1/e*(S(1/k!)n-1/(n+1)!)=1-1/e*S(1/k!)(n+1)

Donc quelque soit n on a bien In/n!=1-1/e*S(1/k!)n

3a) Si 1<=x<=e alors ln1<=lnx<=lne

Soit 0<=lnx<=1 et 0<=lnx^n<1

De plus 1<=x²<=e² et 1/e²<=1/x²<=1

Comme tout est positif on multiplie membre à membre :

0<=(lnx)^n/x²<=1

On intègre et on obtient :

0<=In<=e-1 c'est là ou je n'obtient pas l'encadrement demandé

3b) On a donc 0<=In/n!<=1/n!

Donc si n tend vers +oo alors 1/n! tend vers 0 et In/n! tend vers 0 par le théorème des gendarmes

Note bien que ça marche aussi avec l'encadrement <=e-1

3c) On a donc 1-1/e*S(1/k!)n qui tend vers 0 quand n tend vers +oo

Donc 1/e*S(1/k!)n tend vers 1 et S(1/k!)n tend vers e