Bonjour,
C'est un exercice en maths sur lequel je bloque depuis déjà plusieurs jours. J'aurais besoin qu'on m'explique comment faire.
Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, les nombres n! +2; n! + 3; ... n! + n sont composés et en déduire six entiers consécutifs qui ne soient pas des nombres premiers.
S'il vous plaît expliquer moi comment vous vous y prenez.
Merci d'avance
Dreamus
C'est un exercice en maths sur lequel je bloque depuis déjà plusieurs jours. J'aurais besoin qu'on m'explique comment faire.
Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, les nombres n! +2; n! + 3; ... n! + n sont composés et en déduire six entiers consécutifs qui ne soient pas des nombres premiers.
S'il vous plaît expliquer moi comment vous vous y prenez.
Merci d'avance
Dreamus
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Réponse :
(2;3;4;5;6;7) sont consécutifs non tous premiers
Explications étape par étape
n!+2=1.2.3....n+2=2(1.3.4...n+1) non premier
n!+3=1.2.3....n+3=3(1.2.4.5...n+1) non premier
.. etc
n!+n=1.2.3....n+n=n(1.2.3...(n-1)+1) non premier
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1) Les nombres n! +2 ; n! + 3 ; ... n! + n sont composés :
en effet n! + 2 est divisible par 2 car les deux termes de la somme n! et 2 sont divisibles par 2.
n! + 3 : n! et 3 sont divisibles par 3, la somme est divisible par 3
n! + n : n! et n sont divisible par n, la somme est divisible par n.
Tous ces nombres ont un diviseur autre que 1 et eux-mêmes, ce sont des nombres composés.
2) les entiers suivants sont consécutifs
n! + 2 ; n! + 3 ; n! + 4 ; n! + 5 ; n! + 6 ; n! + 7 ; ...
et on vient de montrer qu'ils ne sont pas premiers
Il suffit de prendre n≥7 pour en obtenir six. Je choisis n=7
7! + 2 ; 7! + 3 ; 7! + 4 ; 7! + 5 ; 7! + 6 ; 7! + 7
sont six entiers consécutifs non premiers.
remarque: en choisissant n = 8 on trouvera de la même manière sept entiers consécutifs non premiers.
Il est inutile de calculer ces nombres, on les garde sous cette forme.