Bonsoir,

Question 1

Aire du triangle AMN = AM x [tex]y[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex] = AN x [tex]z[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex] = MN x [tex]x[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Donc AM x [tex]y[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex] = AN x [tex]z[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Donc AM x [tex]y[/tex] = AN x [tex]z[/tex]

Question 2

Les triangles BMN et CMN ont une hauteur de même longueur [tex]h[/tex] et une base commune MN.

Donc Aire du triangle BMN = Aire du triangle CMN = MN x [tex]h[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Question 3

Aire du triangle ANB = Aire du triangle AMN + Aire du triangle BMN.

Aire du triangle AMC = Aire du triangle AMN + Aire du triangle CMN.

Or comme Aire du triangle BMN = Aire du triangle CMN alors Aire du triangle ANB = Aire du triangle AMC.

Question 4

Aire du triangle ANB = AB x [tex]y[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Aire du triangle AMC = AC x [tex]z[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Or comme Aire du triangle ANB = Aire du triangle AMC alors :

AB x [tex]y[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex] = AC x [tex]z[/tex] x [tex]\frac{1}{2}[/tex]

AB x [tex]y[/tex] = AC x [tex]z[/tex]

Question 5

AM x [tex]y[/tex] / AB x [tex]y[/tex] = AN x [tex]z[/tex] / AC x [tex]z[/tex]

On peut simplifier par [tex]y[/tex] et par [tex]z[/tex] donc [tex]\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}[/tex]

Question 6

RAS

Question 7

D'après la propriété vue à la question 5, on peut dire que : [tex]\frac{CN}{AC} = \frac{CE}{CB}[/tex]

Question 8

a. On a CN = AC - AN et CE = BC - BE.

Donc :

[tex]\frac{AC-AN}{AC} = \frac{BC-BE}{BC}[/tex]

b.

[tex]\frac{AC-AN}{AC} = \frac{BC-BE}{BC}[/tex]

[tex]\frac{AC}{AC} -\frac{AN}{AC} = \frac{BC}{BC} - \frac{BE}{BC}[/tex]

c. On peut déduire que :

[tex]1 -\frac{AN}{AC} = 1 - \frac{BE}{BC}[/tex]

[tex]-\frac{AN}{AC} = 1 - \frac{BE}{BC} - 1[/tex]

[tex]-\frac{AN}{AC} = - \frac{BE}{BC}[/tex]

[tex]\frac{AN}{AC} = \frac{BE}{BC}[/tex]

Question 9

On sait que les droites (AB) et (EN) sont parallèles (question 6) et que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Le quadrilatère MNEB est donc un parallélogramme.

Les côtés BE et MN sont donc égaux donc BE = MN.

Question 10

On a vu à la question 8 que [tex]\frac{AN}{AC} = \frac{BE}{BC}[/tex] donc comme BE = MN on a :

[tex]\frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}[/tex]

On a vu à la question 5 que [tex]\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}[/tex] donc on peut en déduire que :

[tex]\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}[/tex]

Voilà :)