aymanemaysae Bonjour ;

Exercice II :

1) g ' (x) = 6x² - 24x - 18 .

2) On a : g(2) = - 67 et g ' (2) = - 42
donc : g ' (2) = (y - g(2))/(x - 2)
donc : - 42 = (y + 67)(x - 2)
donc : - 42x + 84 = y + 67
donc : y = - 42x + 17 (équation de la tangente) .

3) g ' (x) = 0
donc : 6x² - 24x - 18 = 0
donc : x² - 4x - 3 = 0
donc : Δ = 16 + 12 = 28 > 0 (On peut s'arrêter là et dire que l'équation admet deux solutions qui sont les abscisses des deux points de Cg qui admettent une tangente horizontale) ,
sinon on a :

x1 = (4 - √(28))/2 = (4 - 2√7)/2 = 2 - √7
et x2 = (4 + √(28))/2 = (4 + 2√7)/2 = 2 + √7 ,
avec x1 et x2 les abscisses des deux points de Cg qui admettent une tangente horizontale .

Exercice III :

1) j ' (x) = (-(1 + 2x²) - ( 3 - x)(4x))/(1 + 2x²)²
= (- 1 - 2x² - 12x + 4x²)/(1 + 2x²)²
= (2x² - 12x -1)/(1 + 2x²)² .

2) k ' (x) = (2x - 3)(2x - 5) + 2(x² - 3x + 1)
= 4x² - 10x - 6x + 15 + 2x² - 6x + 2
= 6x² - 22x + 17 .