Réponse :

Re bonjour

Explications étape par étape : sur

Données f(x)=ax+b*ln(x)+c  sur Df=]0; +oo[ et  j'en déduis que:

f'(x)=a+ b/x  ou  f'(x)=(ax+b)/x

1 et 2 ) tout va ensemble avec les données du graphique

f(1)=1   donc a+c=1

f'(1)=3   donc a+b=3

f'(4)=0 donc  a+b/4=0 de ceci on tire b=-4a

ce qui donne a-4a=3       donc a=-1

or a+b=3 donc b=4       et  a+c=1      donc c=1+1=2:      c=2

f(x)=-x+4ln(x)+2    réponses données

**********

3a) f'(x)=(ax+b)/x=(4-x)/x

b) x étant >0 f'(x) dépend du signe de (4-x)  f'(x)=0 poux =4

c) Déterminons les limites de f(x) avant de dresser le tableau

si tend vers0   f(x) tend vers-oo

si x tend vers +oo  tend vers -oo car la fonction affine  (-x+2) l'emporte sur

  la fonction ln (croissances comparées)

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    0                                     4                              +oo

f(x) II                       +              0            -

f(x) II-oo   croît                     f(4)         décroît         -oo

calcule f(4)=............

4a)f(0+) est<0   f(4)est >0 la fonction f(x) étant continue et monotone sur l'intervalle ]0;4[ d'après le TVI, f(x)=0 admet une et une seule solution sur cet intervalle. x=g avec 0<g<1.

je te laisse calculer la valeur de g au dixième près.

4b) calcule f(7) on note que f(7) est encore >0

donc f(x)<0 sur ]0;g[  et f(x)>0 sur ]g; 7]

Nota  compte tenu du tableau de variations f(x)=0 admet une deuxième solution sur ]4; +oo[ (non demandée)

5a) je te laisse hachurer

5b)f(x)=-x+4ln(x)+2

f(x) est une fonction somme, la primitive est la somme des primitives à la constante près

sachant que la primitive de ln x est xln(x)-x +Cste

F(x)=(-1/2)x²+4[xln(x)-x]+2x=-0,5x²-2x+4lnx + cste.

nota; si tu ne connais pas la primitive de ln (x)   tu peux dériver la réponse , F(x) donnée dans l'énoncé, pour retrouver f(x).

5c) Ce n'est que du calcul

Aire=F(4)-F(1)=..............je te laisse faire.