Réponse :

f(x) = 4 x - 1 + 1/x      Df = R*

1) calculer  f '(x)

  f '(x) = 4 - 1/x²

2) étudier le signe de f '(x)

       f '(x) = 4 - 1/x²   ⇔ f '(x) = (4 x² - 1)/x²      or  x² > 0

donc le signe de f '(x) est du signe  de 4 x² - 1 = (2 x + 1)(2 x - 1)

           x       - ∞              - 1/2                 1/2              + ∞    

      2 x + 1               -          0           +                  +    

      2 x - 1                -                         -       0         +    

        f '(x)                  +          0           -        0         +

en déduire les variations de f

f '(x) ≥ 0  sur  ]- ∞ ; - 1/2]U[1/2 ; + ∞[  ⇒  f est croissante sur cet intervalle

f '(x) ≤ 0  sur  [- 1/2 ; 1/2]  ⇒  f est décroissante sur cet intervalle

3)  dresser le tableau de variations de f

         x    - ∞                 - 1/2                    0              1/2                 + ∞          

      f(x)    - ∞→→→→→→→→ - 5→→→→→→→ -∞ ||+∞→→→→→ 3 →→→→→→→→ + ∞    

                    croissante         décroissante                    croissante

Explications étape par étape :