Réponse :

1) a) que vaut n² ? est-il pair ou impair ?

       n = 2 k     k ∈ N  ⇒ n² = (2 k)² = 4 k²

       n² = 4 k² = 2 x (2 k²)   avec  k' = 2 k²  ∈ N

    donc  n² = 2 k'   est pair

b) que vaut alors n² ?  cet entier est-il pair ou impair ?

       n = 2 p + 1  ⇒ n² = (2 p + 1)² = 4 p² + 4 p + 1

       n² =  4 p² + 4 p + 1 = 2(2 p² + 2 p) + 1 ;  on pose  k = 2 p² + 2 p  ∈ N

       n² = 2 k + 1   est impair

c) conclusion :  le carré d'un nombre pair est pair  et le carré d'un nombre impair est impair

Explications étape par étape :