Réponse :

Partie A

f(x) = (- 1 + 2 x)² - (3 - 6 x)(1 - x)

1) montrer en développant que: f(x) = - 2 x² + 5 x - 2

f(x) = (- 1 + 2 x)² - (3 - 6 x)(1 - x) = 1 - 4 x + 4 x² - (3 - 3 x - 6 x + 6 x²)

    = 1 - 4 x + 4 x² - (3 - 9 x + 6 x²)

    = 1 - 4 x + 4 x² - 3 + 9 x - 6 x²

  f(x) = - 2 x² + 5 x - 2

2) montrer à l'aide d'une factorisation que:  f(x) = (1 - 2 x)(x - 2)

f(x) = (- 1 + 2 x)² - (3 - 6 x)(1 - x)

    = (- 1 + 2 x)² + 3(- 1 + 2 x)(1 - x)

    = (- 1 + 2 x)(- 1 + 2 x + 3(1 - x))

    = (- 1 + 2 x)(- 1 + 2 x + 3 - 3 x)

    = (- 1 + 2 x)( - x + 2)

    = ( - (1 - 2 x))(- (x - 2))

    f(x) = (1 - 2 x)(x - 2)

3)  montrer que pour tout réel  x :  f(x) = - 2(x - 5/4)² + 9/8

f(x) = - 2 x² + 5 x - 2 ,  la forme canonique de f(x) est  f(x) = a(x - α)² + β

avec   a = - 2

α = - b/2a = - 5/- 4 = 5/4

β = f(α) = f(5/4) = - 2(5/4)² + 5(5/4) - 2

                       = - 25/8 + 25/4 - 2

                       = - 25/8 + 50/8 - 16/8 = - 41/8  + 50/8 = 9/8

         donc  on abouti à  f(x) = - 2(x - 5/4)²+ 9/8

Partie B

choisir la forme la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes:    

1) calculer f(1/2) et f(5/4)

 f(x) = (1 - 2 x)(x - 2)  ;  f(1/2) = (1 - 2(1/2))((1/2) - 2) = 0

f(5/4) = - 2(5/4 - 5/4)² + 9/8 = 9/8

2) montrer que f(√2) = 5√2 - 6

on choisit la forme développée de f(x) = - 2 x² + 5 x - 2

f(√2) = - 2(√2)² + 5√2 - 2

       = - 4 + 5√2 - 2

       = 5√2 - 6

3) résoudre dans R les équations

 3.a  (E1) : f(x) = 0   on choisit la forme factorisée de f(x)

f(x) =  (1 - 2 x)(x - 2) = 0  ⇔ 1 - 2 x = 0 ⇔ x = 1/2  ou x - 2 = 0 ⇔ x = 2

(E1) :  S = {1/2 ; 2}

 3.b  (E2):  f(x) = 9/8  , on choisit la forme canonique de f(x)

f(x) = - 2(x - 5/4)²+9/8 = 9/8  ⇔ - 2(x - 5/4)² = 0 ⇔ (x - 5/4)² = 0

⇔ x = 5/4  solution double   ⇔ (E2): S = {5/4}

3.c  (E3):  f(x) = (x - 2)  on choisit la forme factorisée de f(x)

 f(x) =  (1 - 2 x)(x - 2) = (x - 2) ⇔  (1 - 2 x)(x - 2) - (x - 2) = 0

⇔ (x - 2)(1 - 2 x - 1) = 0 ⇔ - 2 x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x - 2 = 0 ⇔ x = 2

⇔ E3) :  S = {0 ; 2}

Explications étape par étape