Bonjour, Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice de maths s'il vous plaît ? Merciii ! 10 POINTS!
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aidezmoisvp13124
Le triangle ABC est isocèle, donc AB = AC, ce qui implique que BC = 10 - 2AB. Comme BC = x, on a 10 - 2AB = x, ce qui donne AB = (10 - x)/2. Pour que le triangle soit constructible, il faut que AB + BC > AC, ce qui donne (10 - x)/2 + x > (10 - x)/2, c'est-à-dire x > 0. De plus, il faut que AC + BC > AB, ce qui donne (10 - x)/2 + x > (10 - x)/2, c'est-à-dire x < 5. Ainsi, on a bien 0 ≤ x < 5. Le triangle AHB est rectangle en H, donc par le théorème de Pythagore, on a AH^2 = AB^2 - BH^2. Or, BH = BC/2 = x/2 et AB = (10 - x)/2, donc AH^2 = ((10 - x)/2)^2 - (x/2)^2 = (100 - 20x + x^2)/4 - x^2/4 = (100 - 19x + x^2)/4. En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient AH = sqrt((100 - 19x + x^2)/4) = sqrt(25 - (x - 19/2)^2/4). L'aire du triangle ABC est A = (AB × AH)/2 = ((10 - x)/2 × AH)/2 = (10 - x)AH/4. En remplaçant AH par son expression en fonction de x, on obtient A(x) = (10 - x)sqrt(25 - (x - 19/2)^2)/4 = (225 - 5x)/4. La fonction A est dérivable sur l'intervalle [0; 5[ car elle est la composition de fonctions dérivables sur cet intervalle (racine carrée, produit, différence et quotient). Pour tout x de cet intervalle, on a A'(x) = (-5/4)sqrt(25 - (x - 19/2)^2) - (10 - x)(x - 19/2)/(8sqrt(25 - (x - 19/2)^2)). Pour trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale, on cherche les valeurs de x pour lesquelles A'(x) = 0. Comme la fonction A'(x) est continue sur l'intervalle [0; 5[, elle atteint un maximum ou un minimum en chaque point où elle s'annule ou n'est pas définie. On a A'(x) = 0 si et seulement si -5sqrt(25 - (x - 19/2)^2) = (10 - x)(x - 19/2)/(4sqrt(25 - (x - 19/2)^2)). En simplifiant cette équation, on obtient x^2 - 19x + 25 = 0, dont les solutions sont x = (19 ± sqrt(111))/2. Comme 0 ≤ x < 5, la seule solution qui convient est x = (19 - sqrt(111))/2. On vérifie que cette valeur de x est bien un maximum de la fonction A en calculant A''(x) = ((5x - 95)/((25 - (x
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Le triangle AHB est rectangle en H, donc par le théorème de Pythagore, on a AH^2 = AB^2 - BH^2. Or, BH = BC/2 = x/2 et AB = (10 - x)/2, donc AH^2 = ((10 - x)/2)^2 - (x/2)^2 = (100 - 20x + x^2)/4 - x^2/4 = (100 - 19x + x^2)/4. En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient AH = sqrt((100 - 19x + x^2)/4) = sqrt(25 - (x - 19/2)^2/4).
L'aire du triangle ABC est A = (AB × AH)/2 = ((10 - x)/2 × AH)/2 = (10 - x)AH/4. En remplaçant AH par son expression en fonction de x, on obtient A(x) = (10 - x)sqrt(25 - (x - 19/2)^2)/4 = (225 - 5x)/4.
La fonction A est dérivable sur l'intervalle [0; 5[ car elle est la composition de fonctions dérivables sur cet intervalle (racine carrée, produit, différence et quotient). Pour tout x de cet intervalle, on a A'(x) = (-5/4)sqrt(25 - (x - 19/2)^2) - (10 - x)(x - 19/2)/(8sqrt(25 - (x - 19/2)^2)).
Pour trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale, on cherche les valeurs de x pour lesquelles A'(x) = 0. Comme la fonction A'(x) est continue sur l'intervalle [0; 5[, elle atteint un maximum ou un minimum en chaque point où elle s'annule ou n'est pas définie. On a A'(x) = 0 si et seulement si -5sqrt(25 - (x - 19/2)^2) = (10 - x)(x - 19/2)/(4sqrt(25 - (x - 19/2)^2)). En simplifiant cette équation, on obtient x^2 - 19x + 25 = 0, dont les solutions sont x = (19 ± sqrt(111))/2. Comme 0 ≤ x < 5, la seule solution qui convient est x = (19 - sqrt(111))/2. On vérifie que cette valeur de x est bien un maximum de la fonction A en calculant A''(x) = ((5x - 95)/((25 - (x