Quantum

Verified answer

Bonjour,

La fonction f est croissante sur un intervalle B signifie que pour tout a,b ∈B avec a < b, f(a) < f(b) autrement dit que f(a) - f(b) < 0

La fonction f est décroissante sur un intervalle B signifie que pour tout a,b ∈B avec a < b, f(a) > f(b) autrement dit que f(a) - f(b) > 0


Partie 1 : a > 0

But : Démontrer que pour toute fonction affine, si a est positif alors f est croissante.

Départ : On se propose de déterminer le signe de la différence f(m)-f(p)

Donnée que l'on connait :
a > 0

Donnée que l'on pose :
m < p <=> m-p < 0 avec m,p ∈IR

f(m) - f(p)
= am + b - ( ap + b )
= am + b - ap - b
= am - ap
= a ( m-p )

a étant positif, le signe de f(m) - f(p) dépend de m-p.
On sait également que m-p est négatif ( voir Donnée que l'on pose ).

Règle des signes : ( + ) × ( - ) = ( -)

Donc f(m) - f(p) < 0 <=> f(m) < f(p)

La propriété est démontrée.




Partie 2 : a < 0

But : Démontrer que pour toute fonction affine, si a est négatif alors f est décroissante.

Départ : On se propose de déterminer le signe de la différence f(m)-f(p)

Donnée que l'on connait :
a < 0

Donnée que l'on pose :
m < p <=> m-p < 0 avec m,p ∈IR

f(m) - f(p)
= am + b - ( ap + b )
= am + b - ap - b
= am - ap
= a ( m-p )

a étant négatif, le signe de f(m) - f(p) dépend de m-p.
On sait également que m-p est négatif ( voir Donnée que l'on pose ).

Règle des signes : ( - ) × ( - ) = ( + )

Donc f(m) - f(p) > 0 <=> f(m) > f(p)

La propriété est démontrée.