1) la fonction f est un polynôme donc nécessairement définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
Toutefois, l'énoncé explique que le domaine de f est restreint à [tex][4;12][/tex] qui est donc son domaine de définition.
2) La fonction f est une somme de plusieurs petites fonctions polynomiales appelés "monômes".
On sait que la dérivées d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées donc
[tex]f'(x) =-80x + 600[/tex]
où l'on a donc dérivé chaque morceau de la fonction f en utilisant le fait que [tex](k\times f(x))' = k \times f'(x)[/tex] et [tex](x^n)' = nx^{n-1}[/tex].
[tex]f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow f \quad \text{est croissante}[/tex]
[tex]f'(x) \le 0 \Leftrightarrow f \quad \text{est decroissante}[/tex]
Donc on cherche d'abord le signe de [tex]f'[/tex].
La dérivée est une fonction affine donc ses variations sont induites par son coefficient directeur qui vaut ici -80. On en déduit que f' est décroissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
De plus, on a vu précédemment qu'elle s'annulait en [tex]x = \frac{15}{2}[/tex] donc
f' est strictement positive sur [tex][4;\frac{15}{2}[[/tex] et strictement négative sur [tex]]\frac{15}{2};12 ][/tex]
Maintenant, avec le rappel que j'ai énoncé en début de question, on en déduit que f est strictement croissante sur [tex][4;\frac{15}{2}[[/tex] et strictement décroissante sur [tex]]\frac{15}{2};12 ][/tex].
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Hello,
1) la fonction f est un polynôme donc nécessairement définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
Toutefois, l'énoncé explique que le domaine de f est restreint à [tex][4;12][/tex] qui est donc son domaine de définition.
2) La fonction f est une somme de plusieurs petites fonctions polynomiales appelés "monômes".
On sait que la dérivées d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées donc
[tex]f'(x) =-80x + 600[/tex]
où l'on a donc dérivé chaque morceau de la fonction f en utilisant le fait que [tex](k\times f(x))' = k \times f'(x)[/tex] et [tex](x^n)' = nx^{n-1}[/tex].
3) On a
[tex]f'(x) = 0 \Leftrightarrow -80x+600 = 0 \Leftrightarrow x =\frac{600}{80} = \frac{15}{2}[/tex]
4) On sait que
[tex]f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow f \quad \text{est croissante}[/tex]
[tex]f'(x) \le 0 \Leftrightarrow f \quad \text{est decroissante}[/tex]
Donc on cherche d'abord le signe de [tex]f'[/tex].
La dérivée est une fonction affine donc ses variations sont induites par son coefficient directeur qui vaut ici -80. On en déduit que f' est décroissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
De plus, on a vu précédemment qu'elle s'annulait en [tex]x = \frac{15}{2}[/tex] donc
f' est strictement positive sur [tex][4;\frac{15}{2}[[/tex] et strictement négative sur [tex]]\frac{15}{2};12 ][/tex]
Maintenant, avec le rappel que j'ai énoncé en début de question, on en déduit que f est strictement croissante sur [tex][4;\frac{15}{2}[[/tex] et strictement décroissante sur [tex]]\frac{15}{2};12 ][/tex].
Cordialement,
RH