Réponse : Bonsoir,

L'intégrale recherchée est constituée de quatre aires distinctes, que l'on va calculer une par une.

i) Première aire.

Il s'agit d'un carré de côté 4, et du demi-cercle de diamètre [AB].

L'aire du carré est 4²=16.

Le diamètre [AB] est égal à 4, donc l'aire du demi-cercle de diamètre [AB] est:

.

Donc la première aire est égal à .

ii) Deuxième aire.

L'aire sous la courbe de f entre les points d'abscisses x=2, et x=4, est égale à la différence de l'aire du rectangle de longueur 4 et de largeur BC, et du demi-cercle de diamètre [BC].

Comme BC=2, l'aire du rectangle est égale à .

L'aire du demi-cercle de diamètre [BC] est égale à:

.

Donc la deuxième aire est égale à .

iii) Troisième aire.

Il s'agit de l'aire sous la courbe de f entre les points d'abscisses x=4 et x=6.

Cette aire est égale à l'aire du rectangle de longueur 4 et de largeur 2, ajouté de l'aire du demi-cercle de diamètre [CD].

L'aire du rectangle est égale à .

L'aire du demi-cercle de diamètre [CD] est:

Cette troisième aire est égale à .

iv) Quatrième aire.

L'aire sous la courbe de f entre les points d'abscisses x=6 et x=12 est égale à l'aire du rectangle de longueur DE et de largeur 4, retranché de l'aire du demi-cercle de diamètre [DE].

L'aire du rectangle est égale à .

L'aire du demi-cercle de diamètre [DE] est égale à:

.

Donc la quatrième aire est égale à .

Donc l'intégrale recherchée est égale à: