Bonjour ;

a est un nombre entier relatif impair , alors il existe k un nombre

entier relatif tel que : a = 2k + 1 ;

donc : a² = (2k + 1)² = (2k)² + 2 x 1 x 2k + 1² = 4k² + 4k +1 ;

donc : a³ = a² x a = (4k² + 4k + 1)(2k + 1)

= 8k³ + 8k² + 2k + 4k² + 4k + 1

= 8k³ + 12k² + 6k + 1

= 2(4k³ + 6k² + 3k) + 1 .

Comme k est un nombre entier relatif alors 4k³ + 6k² + 3k

est un nombre entier relatif .

Posons : 4k³ + 6k² + 3k = h ; alors : a³ = 2h + 1 ;

donc : a³ est un nombre entier relatif impair .

Une autre démonstration .

On a : a³ - a = a(a² - 1) = a(a - 1)(a + 1) .

Comme a(a + 1) est le produit de deux nombres

entiers relatifs consécutifs , alors a(a + 1) est un nombre

entier relatif pair , donc a(a - 1)(a + 1) est un nombre

entier relatif pair ; donc a³ - a est un nombre entier relatif

pair ; donc a³ et a sont de même parité ; donc si a est

impair alors a³ est impair et si a est pair alors a³ est pair .

Soit n un nombre quelconque; 2n est un nombre pair et 2n+1 un nombre impair.

(2n+1)³ = 8x³ + 12x² + 6x + 1 (je te passe le calcul...)

8x³ + 12x² + 6x + 1 = 2(4x³ + 6x² + 3x) + 1

2(4x³ + 6x² + 3x) est pair, puisque multiple de 2; si on ajoute 1, 2(4x³ + 6x² + 3x) + 1 est donc impair.