Réponse : Bonjour,

1) Je vous laisse tracer le graphique.

2) Le coefficient directeur de la tangente à au point A d'abscisse est f'(a).

On calcule donc la dérivée de f:

On a donc:

3) Il faut résoudre l'équation f'(a)=1:

Aux points d'abscisse a=0, et a=4, la tangente à h est parallèle à la droite d'équation y=x.

Déterminons leurs équations:

i) Equation de la tangente à h au point d'abscisse a=0:

Donc la tangente à h au point d'abscisse 0, a pour équation y=x.

ii) Equation de la tangente à h au point d'abscisse a=4:

Donc la tangente à h au point d'abscisse 4, a pour équation y=x-8.

4) La tangente à , au point d'abscisse a, est parallèle à (), d'équation y=mx, si et seulement si f'(a)=m.

Il faut donc discuter en fonction de m, le nombre de solutions de cette équation:

On calcule le discriminant de ce trinôme du second degré en a:

On en déduit que:

Donc si m > 0, l'équation f'(a)=m, a deux solutions, donc dans ce cas, il existe deux points, pour lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation y=mx.

Si m=0, alors , donc dans ce cas, il existe un unique point, pour lequel, la tangente est parallèle à la droite d'équation y=mx.

Enfin, si m < 0, alors , donc dans ce cas, il n'existe pas de points, pour lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation y=mx.