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I- Déterminer les dimensions d’un triangle rectangle dont  l’aire et le périmètre sont égaux à 30.

Soit un triangle rectangle dont les côtés ont pour mesures a, b, et c

                            (voir figure)

l'aire de ce triangle vaut 30 : (a x b)/2 = 30

le périmètre vaut 30 : a + b + c = 30

ce triangle est rectangle : Pythagore  

c² = a² + b²

d'où le système d'équations à 3 inconnues

a x b = 60         (1)

a + b + c = 30   (2)

c² = a² + b²       (3)

  • calcul de c

c² = a² + b²

c² = a² + 2ab + b² -2ab

c² = (a + b)² -  120                           [ (1) -> ab = 120]

c² = (30 - c)² - 120                          [ (2)   ->  a + b = 30 - c) ]

c² = 900 - 60c + c² - 120

60c = 900 - 120

60c = 780

c = 13

• calcul de a et b

(2) a + b + c = 30   ;  c = 13

a + b + 13 = 30

a + b = 17

 on connaît

S = a + b = 17

P = ab = 60

a et b sont solutions de l'équation

x² - Sx + P = 0  soit

x² - 17x + 60 = 0  équations du seconde degré

 Δ = (-17)² - 4*1*60 = 289 - 240 = 49 = 7²

les solutions :

x1 = (17 - 7)/2 = 5        et        x2 = (17 + 7/2 = 12

les valeurs de a et b sont 5 et 12

dimensions du triangle :  5 ; 12 ; 13

II- Déterminer 3 entiers relatifs consécutifs dont la  somme est égale au produit.

soient trois entiers consécutifs :   n - 1  ; n  et  n + 1

• somme s :  n - 1 + n + n + 1 = 3n

• produit p : (n - 1)*n*(n + 1) = n(n² - 1) = n³ - n

 s = p

n³ - n = 3n

n³ -4n = 0

n(n² - 4) = 0

n(n - 2)(n + 2) = 0   cet équation équivaut à

n = 0     ou     n - 2 = 0     ou     n + 2 = 0

                       n = 2                       n = -2

S = {-2 ; 0 ; 2}